Determinar as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer determinar a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente no estudo de derivadas de funções que são quocientes de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divididas uma pela outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem o quociente. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
Para aplicar a Regra do Quociente, lembramos que a derivada de
é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 3
Vamos derivar
:
A derivada de é
e a derivada de
é . Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
Novamente, a derivada de é
e a derivada de
é . Então:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 6
Expandindo os produtos no numerador:
E:
Passo 7
Simplificando os termos:
Observamos que vários termos se cancelam, restando:
Passo 8
Então, o numerador fica:
Sabemos pela Identidade Fundamental da Trigonometria que . Portanto:
Passo 9
Agora, o denominador é . Mas como o numerador já simplificou para -2, temos:
Resposta
A derivada da função é:
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