Determinar as derivadas das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer determinar a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente no estudo de derivadas de funções que são quocientes de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divididas uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem o quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
Para aplicar a Regra do Quociente, lembramos que a derivada de é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos derivar :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
Novamente, a derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 6

Expandindo os produtos no numerador:
E:

Passo 7

Simplificando os termos:
Observamos que vários termos se cancelam, restando:

Passo 8

Então, o numerador fica:
Sabemos pela Identidade Fundamental da Trigonometria que . Portanto:

Passo 9

Agora, o denominador é . Mas como o numerador já simplificou para -2, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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