Determinar as derivadas parciais de ordem das funções e definidas implicitamente pelo sistema dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem das funções e que estão definidas de forma implícita pelo sistema de equações:
Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar as derivadas quando as funções não estão isoladas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada equação do sistema em relação a e . Lembre-se que e são funções de e , então precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos começar diferenciando a primeira equação em relação a :
Aplicando a diferenciação:
Agora, diferenciamos a segunda equação em relação a :
Como não depende de , sua derivada é zero. Então:

Passo 3

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: e .
As equações são:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos substituir na primeira equação:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Isolando :
Agora, voltando à relação que encontramos antes:
Substituindo :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

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Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:
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