Determinar as derivadas parciais de
ordem das funções
e
definidas implicitamente pelo sistema dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem das funções
e
que estão definidas de forma implícita pelo sistema de equações:
Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar as derivadas quando as funções não estão isoladas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada equação do sistema em relação a
e
. Lembre-se que
e
são funções de
e
, então precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos começar diferenciando a primeira equação em relação a
:
Aplicando a diferenciação:
Agora, diferenciamos a segunda equação em relação a
:
Como
não depende de
, sua derivada é zero. Então:
Passo 3
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
e
.
As equações são:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos substituir
na primeira equação:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Isolando
:
Agora, voltando à relação que encontramos antes:
Substituindo
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
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Suponha que sejam dados os gráficos de fe g , como na figura, e queremos encontrar o ponto no gráfico de
o g que corresponde
. Começamos no ponto
) e desenhamos uma reta vertical que intercepta o gráfico de g no ponto
. Então desenhamos uma reta horizontal de P ao ponto Q na reta
(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta , mostre que Sencontra-se no gráfico de h
(d) Ao realizar a construção do caminho para diversos valores de a, esboce o gráfico de
(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta
(d) Ao realizar a construção do caminho
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Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia, das funções dadas: