Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, usando a regra da cadeia. As funções que a gente tem são:
Então, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É basicamente a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como
muda quando mudamos
ou
, mantendo a outra variável fixa.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Olhando para a função
, trata-se de uma função linear em
, pois
é apenas um coeficiente que depende de
.
Passo 4
A derivada de
em relação a
é simplesmente o coeficiente que multiplica
. Então:
Isso significa que, para cada aumento unitário em
,
aumenta
unidades, mantendo
constante.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, olhando para
, aqui
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
.
Passo 6
A derivada de
em relação a
é
. Como
é constante, aplicamos a regra do produto:
Isso indica que, para cada aumento unitário em
,
aumenta
unidades, mantendo
constante.
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determinar as derivadas parciais de
ordem das funções
e
definidas implicitamente pelo sistema dado:
Suponha que sejam dados os gráficos de fe g , como na figura, e queremos encontrar o ponto no gráfico de
o g que corresponde
. Começamos no ponto
) e desenhamos uma reta vertical que intercepta o gráfico de g no ponto
. Então desenhamos uma reta horizontal de P ao ponto Q na reta
(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta , mostre que Sencontra-se no gráfico de h
(d) Ao realizar a construção do caminho para diversos valores de a, esboce o gráfico de
(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta
(d) Ao realizar a construção do caminho
Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia, das funções dadas: