Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , usando a regra da cadeia. As funções que a gente tem são:
Então, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É basicamente a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como muda quando mudamos ou , mantendo a outra variável fixa.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Olhando para a função , trata-se de uma função linear em , pois é apenas um coeficiente que depende de .

Passo 4

A derivada de em relação a é simplesmente o coeficiente que multiplica . Então:
Isso significa que, para cada aumento unitário em , aumenta unidades, mantendo constante.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, olhando para , aqui é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .

Passo 6

A derivada de em relação a é . Como é constante, aplicamos a regra do produto:
Isso indica que, para cada aumento unitário em , aumenta unidades, mantendo constante.

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Determinar as derivadas parciais de ordem das funções e definidas implicitamente pelo sistema dado:
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(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta , mostre que Sencontra-se no gráfico de h
(d) Ao realizar a construção do caminho para diversos valores de a, esboce o gráfico de
Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:
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