Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função onde e também são funções de outras variáveis e :
O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , utilizando a regra da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A função é dada por . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante (já que estamos fazendo uma derivada parcial em relação a ).
A derivada de em relação a é . Aqui, , então:
Como é constante em relação a , temos:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Novamente, , e agora vamos derivar em relação a , tratando como constante.
Usando a mesma regra da cadeia:
Aqui, é constante, então:
Assim, a derivada fica:

Resposta

As derivadas parciais são:

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