Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
z=e^x / y, x=u cos v, y=u s e n v

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função x = u cos v, y = u sin v onde e também são funções de outras variáveis e :
O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , utilizando a regra da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x = e^x/y cdot partialpartial x(xy) . A função partialpartial x(xy) = 1y é dada por partial zpartial x = e^x/yy . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante (já que estamos fazendo uma derivada parcial em relação a ).
A derivada de em relação a é . Aqui, , então:
Como é constante em relação a , temos:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar partial zpartial y = e^x/y cdot partialpartial y(xy) . Novamente, partialpartial y(xy) = -xy^2 , e agora vamos derivar em relação a partial zpartial y = -x e^x/yy^2 , tratando como constante.
Usando a mesma regra da cadeia:
Aqui, é constante, então:
Assim, a derivada fica:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = e^x/yy, partial zpartial y = -x e^x/yy^2

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