Suponha que sejam dados os gráficos de fe g , como na figura, e queremos encontrar o ponto no gráfico de
o g que corresponde
. Começamos no ponto
) e desenhamos uma reta vertical que intercepta o gráfico de g no ponto
. Então desenhamos uma reta horizontal de P ao ponto Q na reta
(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta
, mostre que Sencontra-se no gráfico de h
(d) Ao realizar a construção do caminho
para diversos valores de a, esboce o gráfico de
(a) Quais são as coordenadas de P e de Q ?
(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto R no gráfico de f, quais são as coordenadas de R?
© Se desenharmos uma reta horizontal de Rao ponto Sna reta
(d) Ao realizar a construção do caminho
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos os gráficos das funções
e
e queremos encontrar pontos específicos relacionados a essas funções e à reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar retas verticais e horizontais nos gráficos e como encontrar as coordenadas dos pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, começamos no ponto
na reta
. Agora, vamos desenhar uma reta vertical a partir desse ponto até interceptar o gráfico de
. Vamos chamar esse ponto de interseção de
. Como estamos traçando uma reta vertical, a coordenada
de
será a mesma que a de
, ou seja,
. A coordenada
de
será o valor da função
em
, que é
. Portanto, as coordenadas de
são
.
Passo 3
Agora, a partir do ponto
, vamos desenhar uma reta horizontal até encontrar a reta
. Vamos chamar esse ponto de interseção de
. Como estamos traçando uma reta horizontal, a coordenada
de
será a mesma que a de
, ou seja,
. Na reta
, a coordenada
é igual à coordenada
, então temos:
Portanto, as coordenadas de
são
.
Passo 4
Para a parte (b) do exercício, precisamos desenhar uma reta vertical a partir de
até interceptar o gráfico de
. Vamos chamar esse ponto de interseção de
. Como estamos traçando uma reta vertical, a coordenada
de
será a mesma que a de
, ou seja,
. A coordenada
de
será o valor da função
em
, que é
. Portanto, as coordenadas de
são
.
Passo 5
Na parte ©, precisamos desenhar uma reta horizontal a partir de
até a reta
. Vamos chamar esse ponto de interseção de
. Como estamos traçando uma reta horizontal, a coordenada
de
será a mesma que a de
, ou seja,
. Na reta
, a coordenada
é fixa em
, então as coordenadas de
são
.
Agora, precisamos mostrar que
está no gráfico de
. Pelo enunciado, estamos construindo
de forma que
. Observamos que as coordenadas de
são
, que correspondem exatamente a ponto no gráfico de
, já que
é a coordenada
quando
.
Passo 6
Finalmente, na parte (d), quando realizamos a construção dos caminhos
para diversos valores de
, estamos basicamente mapeando todos os pontos
. Isso forma o gráfico da função
, que é composta pelas aplicações das funções
e
conforme descrito. Então, ao esboçar o gráfico de
, veremos uma curva que representa todos os pontos
para diferentes valores de
.
Resposta
(a) As coordenadas de
são
e de
são
.
Exercícios relacionados
Encontre
Encontre as funções
seus domínios.
Determinar as derivadas parciais de
ordem das funções
e
definidas implicitamente pelo sistema dado:
Determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia, das funções dadas: