Determinar as derivadas parciais de
ordem das funções
e
definidas implicitamente pelo sistema dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem das funções
e
que estão definidas de forma implícita pelo sistema de equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e derivação implícita, que são métodos para encontrar as taxas de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é encontrar
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a Equação 1 em relação a
e
.
Diferenciando em relação a
:
Isso resulta em:
Diferenciando em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a Equação 2 em relação a
e
.
Diferenciando em relação a
:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Diferenciando em relação a
:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
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, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
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Encontre as integrais:
.