Determinar as derivadas parciais de ordem das funções e definidas implicitamente pelo sistema dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem das funções e que estão definidas de forma implícita pelo sistema de equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e derivação implícita, que são métodos para encontrar as taxas de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
çãçã
Nosso objetivo é encontrar , , e .

Passo 3

Vamos começar diferenciando a Equação 1 em relação a e .
Diferenciando em relação a :
Isso resulta em:
Diferenciando em relação a :
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a Equação 2 em relação a e .
Diferenciando em relação a :
Calculando cada termo:
Simplificando:
Diferenciando em relação a :
Calculando cada termo:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

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Encontre as integrais: .