Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , usando a regra da cadeia. As funções que temos são:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A função depende de e , então usamos a derivada de em relação a , tratando como constante. A derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a . Como é tratado como constante em relação a , a derivada fica:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Fazendo o mesmo para . Derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a . Aqui, é tratado como constante, então:
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Determinar as derivadas parciais de ordem das funções e definidas implicitamente pelo sistema dado:
Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:
Encontre as integrais: .
Usando as propriedades de integrais, calcule as integrais a seguir: .