Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
z=ln (x^2+y^2), x=cos u cos v, y=sen u cos v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de z = ln(x^2 + y^2) em relação a x = cos u cos v e a y = sen u cos v , usando a regra da cadeia. As funções que temos são:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x = 1x^2 + y^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2) . A função depende de e , então usamos a derivada de em relação a , tratando como constante. A derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, precisamos derivar partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x em relação a partial zpartial x = 2xx^2 + y^2 . Como é tratado como constante em relação a , a derivada fica:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Fazendo o mesmo para partial zpartial y = 1x^2 + y^2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2) . Derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y em relação a partial zpartial y = 2yx^2 + y^2 . Aqui, é tratado como constante, então:
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2xx^2 + y^2
e
partial zpartial y = 2yx^2 + y^2

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