Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, usando a regra da cadeia, das funções dadas:
z=raizx^2+y^3, x=u^2+1, y=raiz[3]v^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função , onde e . A questão quer que a gente encontre as derivadas parciais de em relação a e , usando regra da cadeia. Isso envolve um pouquinho de cálculo diferencial, mas vou explicar cada passo tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. É a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Aqui, queremos ver como muda quando só ou só mudam.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . A função é . A gente pode reescrever isso como .

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para funções compostas, temos:
partial zpartial x = 12(x^2 + y^3)^-1/2 cdot 2x
Simplificando:
partial zpartial x = xraizx^2 + y^3

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = 12(x^2 + y^3)^-1/2 cdot 3y^2 em relação a partial zpartial y = 3y^22raizx^2 + y^3 , que é . Usando a mesma função , aplicamos a regra da cadeia novamente:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = xraizx^2 + y^3
e
partial zpartial y = 3y^22raizx^2 + y^3

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