Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função , onde e . A questão quer que a gente encontre as derivadas parciais de em relação a e , usando regra da cadeia. Isso envolve um pouquinho de cálculo diferencial, mas vou explicar cada passo tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. É a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Aqui, queremos ver como muda quando só ou só mudam.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . A função é . A gente pode reescrever isso como .

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usando a mesma função , aplicamos a regra da cadeia novamente:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:
Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas:
Determinar as derivadas parciais de ordem das funções e definidas implicitamente pelo sistema dado:
Determinar as derivadas parciais , usando a regra da cadeia, das funções dadas: