Determinar o vetor gradiente das funções:
b) f(x, y, z) = x^2 y^2 z^2 sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o vetor gradiente da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais para cada uma das variáveis , e . O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função. Pra resolver, a gente vai calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Para derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função . Para derivar em relação a , tratamos e como constantes.
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função . Para derivar em relação a , tratamos e como constantes.
A derivada de em relação a é . Então:

Resposta

O vetor gradiente da função é:

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