Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais.
(a) pontos) e
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial definido por:
O objetivo é encontrar a dimensão desse espaço e uma base para ele. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, dimensão e base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem x1 = x2 e x3 = x4 . Dizem que:
Isso significa que, em qualquer vetor de , o segundo componente é igual ao primeiro e o quarto componente é igual ao terceiro. Então, podemos reescrever qualquer vetor de em termos de dois parâmetros livres, por exemplo, e .
Passo 3
Vamos expressar x2 = x1 e x4 = x3 e (x1, x1, x3, x3) em função de e :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos representar esse vetor de uma forma que mostre claramente as “direções” que formam (x1, x1, x3, x3) = x1 cdot (1, 1, 0, 0) + x3 cdot (0, 0, 1, 1) . Podemos fatorar e :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .
Passo 5
Para que esses vetores formem uma base de , eles precisam ser linearmente independentes e geradores de . Como vimos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois, e eles não são múltiplos um do outro, eles são de fato uma base.
Resposta
A dimensão do espaço , (1,;1,;0,;0),; (0,;0,;1,;1) , é e uma base para é dada por: