Em R^2, mantenhamos a definiçäo da soma de dois vetores mas modifiquemas, de 2 maneiras diferentes, a definição do produto ou do vetor u=(x, y) pelo escalar alpha in R. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial contimuam válidos e quais são violados:
(b) (1 ponto) alpha(x, y)=(x^alpha, y^alpha)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais em . A ideia é que a gente mantenha a forma padrão de adicionar dois vetores, mas vamos mudar a forma como multiplicamos um vetor por um escalar . No caso (b), a multiplicação escalar está definida como . Nosso objetivo é descobrir quais das regras que definem um espaço vetorial ainda funcionam com essa nova definição de multiplicação escalar e quais não funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa obedecer a certos axiomas, como a associatividade e comutatividade da soma, existência de um vetor zero, entre outros. Além disso, a multiplicação de vetores por escalares deve seguir algumas propriedades específicas.

Passo 3

Vamos verificar cada um desses axiomas para ver se eles ainda são válidos com a nova definição de multiplicação escalar .

Passo 4

1. Associatividade da multiplicação por escalares:
Deveria ser alpha(beta(x, y)) = alpha(x^beta, y^beta) = ((x^beta)^alpha, (y^beta)^alpha) = (x^betaalpha, y^betaalpha) . Vamos testar:
(alphabeta)(x, y) = (x^alphabeta, y^alphabeta)
Por outro lado,
1(x, y) = (x^1, y^1) = (x, y)
Parece que funciona nesse caso específico, já que alpha(u + v) = alpha(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)^alpha, (y1 + y2)^alpha) .
2. Identidade da multiplicação por escalar:
Deveria ser alphau + alphav = (x1^alpha, y1^alpha) + (x2^alpha, y2^alpha) = (x1^alpha + x2^alpha, y1^alpha + y2^alpha) . Vamos verificar:
(alpha + beta)(x, y) = (x^alpha + beta, y^alpha + beta)
Isso funciona perfeitamente.
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
Deveria ser alphau + betau = (x^alpha, y^alpha) + (x^beta, y^beta) = (x^alpha + x^beta, y^alpha + y^beta) . Vamos ver um exemplo:
Se e , então:
Enquanto,
Esses dois resultados não são iguais na maioria dos casos, já que em geral. Portanto, esse axioma é violado.
4. Distributividade em relação à soma de escalares:
Deveria ser . Vamos testar:
E,
Claramente, na maioria das vezes, então esse axioma também é violado.
5. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
Deveria ser . Já vimos no passo 4 que isso funciona, já que .

Resposta

Com a definição , os seguintes axiomas de espaço vetorial continuam válidos: identidade da multiplicação por escalar e compatibilidade da multiplicação por escalares. Porém, os axiomas de distributividade em relação à soma de vetores e à soma de escalares são violados. Portanto, essa definição de multiplicação escalar não mantém todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

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