Em
, mantenhamos a definiçäo da soma de dois vetores mas modifiquemas, de 2 maneiras diferentes, a definição do produto ou do vetor
pelo escalar
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial contimuam válidos e quais são violados:
(b)
ponto)
(b)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais em
. A ideia é que a gente mantenha a forma padrão de adicionar dois vetores, mas vamos mudar a forma como multiplicamos um vetor
por um escalar
. No caso (b), a multiplicação escalar está definida como
. Nosso objetivo é descobrir quais das regras que definem um espaço vetorial ainda funcionam com essa nova definição de multiplicação escalar e quais não funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa obedecer a certos axiomas, como a associatividade e comutatividade da soma, existência de um vetor zero, entre outros. Além disso, a multiplicação de vetores por escalares deve seguir algumas propriedades específicas.
Passo 3
Vamos verificar cada um desses axiomas para ver se eles ainda são válidos com a nova definição de multiplicação escalar
.
Passo 4
1. Associatividade da multiplicação por escalares:
Deveria ser . Vamos testar:
Deveria ser
Por outro lado,
Parece que funciona nesse caso específico, já que
.
2. Identidade da multiplicação por escalar:
Deveria ser . Vamos verificar:
Deveria ser
Isso funciona perfeitamente.
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
Deveria ser . Vamos ver um exemplo:
Deveria ser
Se
e
, então:
Enquanto,
Esses dois resultados não são iguais na maioria dos casos, já que
em geral. Portanto, esse axioma é violado.
4. Distributividade em relação à soma de escalares:
Deveria ser . Vamos testar:
Deveria ser
E,
Claramente,
na maioria das vezes, então esse axioma também é violado.
5. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
Deveria ser . Já vimos no passo 4 que isso funciona, já que
.
Deveria ser
Resposta
Com a definição
, os seguintes axiomas de espaço vetorial continuam válidos: identidade da multiplicação por escalar e compatibilidade da multiplicação por escalares. Porém, os axiomas de distributividade em relação à soma de vetores e à soma de escalares são violados. Portanto, essa definição de multiplicação escalar não mantém todas as propriedades necessárias para
ser um espaço vetorial.