Mostre que as matrizes
e
comutam (isto é,
) e
e
não comutam (isto é,
).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que as matrizes
e
comutam, ou seja, que
. Além disso, precisamos demonstrar que as matrizes
e
não comutam, ou seja, que
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comutatividade de matrizes, que é parte do estudo de álgebra linear.
Passo 2
Vamos começar verificando se
e
comutam. Para isso, precisamos multiplicar as matrizes nas duas ordens diferentes e ver se os resultados são iguais.
Passo 3
Primeiro, calculamos
. Multiplicamos cada elemento da linha de
pelos elementos correspondentes da coluna de
e somamos os resultados.
Passo 4
Em seguida, calculamos
da mesma forma: multiplicamos cada elemento da linha de
pelos elementos correspondentes da coluna de
e somamos.
Passo 5
Após calcular
e
, comparamos os resultados. Se forem iguais, isso confirma que
e
comutam.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
e
comutam. Novamente, multiplicamos
e
.
Passo 7
Calculamos
multiplicando as matrizes como fizemos anteriormente.
Passo 8
Também calculamos
da mesma maneira.
Passo 9
Comparamos os resultados de
e
. Se forem diferentes, isso mostra que
e
não comutam.
Resposta
Depois de realizar as multiplicações, verificamos que
, então as matrizes
e
comutam. Por outro lado,
, o que significa que as matrizes
e
não comutam.