Mostre que se
para todo vetor
, então
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para mostrar que, se o produto interno de qualquer vetor
com
for igual ao produto interno de
com
para todo
, então necessariamente
e
são o mesmo vetor. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre produto interno e igualdade de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
para todo vetor
. O produto interno
basicamente nos dá uma medida de quanto dois vetores “se alinham”. Se isso é igual para
e
com qualquer
, isso sugere que
e
devem ser iguais.
Passo 3
Vamos manipular a igualdade para ver o que isso implica. Temos:
Subtraindo os dois lados, obtemos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, sabemos que
para todo vetor
. Queremos mostrar que isso implica
, ou seja,
.
Pense que
é um vetor que está “perpendicular” a todo vetor
, já que o produto interno é zero. A única maneira disso acontecer é se
for o vetor zero.
Passo 5
Para formalizar, vamos escolher
. Então temos:
Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao seu comprimento ao quadrado:
Passo 6
Se a norma (comprimento) de
é zero, isso significa que
é o vetor zero:
Resposta
Portanto, mostramos que se
para todo vetor
, então necessariamente
.