Mostre que se lang<= x, vrang<==lang<= x, wrang<= para todo vetor x, então v=w.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para mostrar que, se o produto interno de qualquer vetor com for igual ao produto interno de com para todo , então necessariamente e são o mesmo vetor. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre produto interno e igualdade de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa para todo vetor . O produto interno basicamente nos dá uma medida de quanto dois vetores “se alinham”. Se isso é igual para e com qualquer , isso sugere que e devem ser iguais.

Passo 3

Vamos manipular a igualdade para ver o que isso implica. Temos:
lang<= x, v rang<= = lang<= x, w rang<=
Subtraindo os dois lados, obtemos:
lang<= x, v rang<= - lang<= x, w rang<= = 0
Isso simplifica para:
lang<= x, v - w rang<= = 0

Passo 4

Agora, sabemos que para todo vetor . Queremos mostrar que isso implica , ou seja, .
Pense que é um vetor que está “perpendicular” a todo vetor , já que o produto interno é zero. A única maneira disso acontecer é se for o vetor zero.

Passo 5

Para formalizar, vamos escolher lang<= v - w, v - w rang<= = 0 . Então temos:
|v - w|^2 = 0
Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao seu comprimento ao quadrado:

Passo 6

Se a norma (comprimento) de v - w = 0 implies v = w é zero, isso significa que é o vetor zero:

Resposta

Portanto, mostramos que se para todo vetor , então necessariamente .

Exercícios relacionados