Seja E um espaço vetorial.
(a) ( 1 ponto) Defina subespaço vetorial de
, em seguida verifique quais clos subconjuntos sâo subespaços vetoriais.
(a) ( 1 ponto) Defina subespaço vetorial de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos definir o que é um subespaço vetorial de
, que é um espaço vetorial. Depois, vamos verificar quais subconjuntos fechados de
são realmente subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de
é um subconjunto não vazio de
que satisfaz três condições importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está no subespaço. - Fechado sob adição vetorial: Se
e estão no subespaço, então também está no subespaço. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está no subespaço e é um escalar, então também está no subespaço.
Essas condições garantem que o subconjunto mantém a estrutura de espaço vetorial dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar quais subconjuntos fechados de
são subespaços vetoriais. Um conjunto fechado aqui significa que ele contém todos os seus pontos limite, mas no contexto de espaços vetoriais, focamos nas condições de fechamento sob operações vetoriais.
Para que um subconjunto fechado seja um subespaço vetorial, ele deve:
- Conter o vetor zero: Sem isso, já não satisfaz a primeira condição.
- Ser fechado sob adição e multiplicação por escalar: Isso garante que ao combinar vetores do subconjunto, continuamos dentro do mesmo subconjunto.
Se um subconjunto fechado satisfaz essas três condições, então ele é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Um subespaço vetorial de
é um subconjunto não vazio que contém o vetor zero e é fechado sob adição vetorial e multiplicação por escalar. Portanto, os subconjuntos fechados que atendem a essas condições são subespaços vetoriais de
.