Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar os métodos de eliminação e substituição, que são técnicas bem legais da álgebra linear para resolver sistemas de equações.
Passo 2
Vamos dar uma olhada na primeira equação do sistema:
2x + y = 2z + y
Aqui, percebemos que o 2x + y - y = 2z + y - y Rightarrow 2x = 2z está presente dos dois lados da equação. Então, podemos simplificar subtraindo x = z de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por 2 para isolar o :
Legal, já descobrimos que é igual a .
Passo 3
Agora, vamos usar essa relação 3x - 2y + 4 = 1 - z na segunda equação do sistema:
3x - 2y + 4 = 1 - x
Substituindo 3x + x - 2y = 1 - 4 Rightarrow 4x - 2y = -3 por :
Vamos reorganizar os termos para agrupar as variáveis:
Agora temos uma equa��ão mais simples com e .
Passo 4
Vamos considerar a terceira equação do sistema:
-x + 2y = 2
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
4x - 2y = -3 -x + 2y = 2
Vamos somar as duas equações para eliminar o (4x - 2y) + (-x + 2y) = -3 + 2 :
3x = -1 Rightarrow x = -13
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que z = -13 , então substituímos por :
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de -x + 2y = 2 usando a terceira equação: