Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
2 x+y & =2 z+y 3 x-2 y+4 & =1-z -x+2 y & =2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar os métodos de eliminação e substituição, que são técnicas bem legais da álgebra linear para resolver sistemas de equações.

Passo 2

Vamos dar uma olhada na primeira equação do sistema:
2x + y = 2z + y
Aqui, percebemos que o 2x + y - y = 2z + y - y Rightarrow 2x = 2z está presente dos dois lados da equação. Então, podemos simplificar subtraindo x = z de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por 2 para isolar o :
Legal, já descobrimos que é igual a .

Passo 3

Agora, vamos usar essa relação 3x - 2y + 4 = 1 - z na segunda equação do sistema:
3x - 2y + 4 = 1 - x
Substituindo 3x + x - 2y = 1 - 4 Rightarrow 4x - 2y = -3 por :
Vamos reorganizar os termos para agrupar as variáveis:
Agora temos uma equa��ão mais simples com e .

Passo 4

Vamos considerar a terceira equação do sistema:
-x + 2y = 2
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
4x - 2y = -3 -x + 2y = 2
Vamos somar as duas equações para eliminar o (4x - 2y) + (-x + 2y) = -3 + 2 :
3x = -1 Rightarrow x = -13
Simplificando:

Passo 5

Lembrando que z = -13 , então substituímos por :

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de -x + 2y = 2 usando a terceira equação:
-(-13) + 2y = 2 Rightarrow 13 + 2y = 2
Substituindo 2y = 2 - 13 = 53 Rightarrow y = 56 :
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -13, y = 56, z = -13

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