Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para um conjunto específico de matrizes 2x2 com números reais. O conjunto dado é todas as matrizes da forma:
a & b c & d |, b = a + c
Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se tivermos os elementos , e livres, o elemento depende deles. Então, podemos expressar qualquer matriz desse conjunto em termos de , e .
Passo 3
Vamos reescrever a matriz usando a condição a & a + c c & d :
Agora, podemos ver que temos três variáveis livres: , e . Cada uma dessas variáveis pode ser qualquer número real.
Passo 4
Para encontrar uma base, vamos expressar a matriz como combinação linear dessas variáveis. Podemos fatorar cada variável:
a & a + c c & d = a 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1
Passo 5
As matrizes que multiplicamos pelas variáveis , e formam a base do subespaço. Verificamos que são linearmente independentes e que qualquer matriz no conjunto pode ser escrita como combinação linear delas.
Passo 6
Então, a dimensão do subespaço é igual ao número de vetores na base, que nesse caso são 3.
Resposta
A dimensão do subespaço é 3 e uma base para ele é formada pelas matrizes: