Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: R^2 R^2, f(x, y)=(x+2 y, x-3 y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a aplicação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Escalar: para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma aplicação linear deve mandar o vetor zero em zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se f(0, 0) = (0 + 2 cdot 0, 0 - 3 cdot 0) = (0, 0) satisfaz essas propriedades. Primeiro, calculamos , onde :
Então, a primeira condição está ok: .

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da adição. Sejam f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2), (x1 + x2) - 3(y1 + y2)) e = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, x1 + x2 - 3y1 - 3y2) , então:
f(u) + f(v) = (x1 + 2y1, x1 - 3y1) + (x2 + 2y2, x2 - 3y2) = (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, x1 - 3y1 + x2 - 3y2)
Simplificando:
f(u + v) = f(u) + f(v)
Por outro lado:
Observamos que:
Então, a segunda propriedade também está satisfeita.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a propriedade da escala. Seja f(cu) = f(cx, cy) = (cx + 2cy, cx - 3cy) = c(x + 2y, x - 3y) = c cdot f(u) um escalar e :
Portanto, a propriedade da escala também é satisfeita.

Resposta

Sim, a aplicação é linear.

Exercícios relacionados