Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a aplicação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma aplicação linear deve mandar o vetor zero em zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades. Primeiro, calculamos
, onde
:
Então, a primeira condição está ok:
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da adição. Sejam
e
, então:
Simplificando:
Por outro lado:
Observamos que:
Então, a segunda propriedade também está satisfeita.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a propriedade da escala. Seja
um escalar e
:
Portanto, a propriedade da escala também é satisfeita.
Resposta
Sim, a aplicação
é linear.