Seja T: V V uma função. Mostre que se T é linear então T(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que, se é uma transformação linear, então . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se comporta com vetores, especialmente o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os vetores e em e para todo escalar :
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura vetorial do espaço .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que T(0 cdot v) = 0 cdot T(v) , onde T(0) = 0 cdot T(v) é o vetor zero em . Para começar, consideremos a segunda propriedade da linearidade, a multiplicação por escalar. Vamos escolher o escalar e aplicar a propriedade:
Sabemos que para qualquer vetor , então substituindo:

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão T(0) = 0 . Multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero. Portanto:
Isso mostra que a transformação linear mapeia o vetor zero para ele mesmo.

Resposta

Se é uma transformação linear, então .

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) :
b) [lla & b c & d] rvert, b=a+c
Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: R^3 R^2, f(x, y, z)=(x+2 y+z^2, x-3 y);
Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: R^2 R^2, f(x, y)=(x+2 y, x-3 y);
Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: M2(R) R, f(A)=det(A).