Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que, se é uma transformação linear, então . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se comporta com vetores, especialmente o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os vetores e em e para todo escalar :
Adição vetorial:
Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura vetorial do espaço .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que , onde é o vetor zero em . Para começar, consideremos a segunda propriedade da linearidade, a multiplicação por escalar. Vamos escolher o escalar e aplicar a propriedade:
Sabemos que para qualquer vetor , então substituindo:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão . Multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero. Portanto:
Isso mostra que a transformação linear mapeia o vetor zero para ele mesmo.