Seja
uma função. Mostre que se
é linear então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que, se
é uma transformação linear, então
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se comporta com vetores, especialmente o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os vetores
e
em
e para todo escalar
:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação
preserva a estrutura vetorial do espaço
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
, onde
é o vetor zero em
. Para começar, consideremos a segunda propriedade da linearidade, a multiplicação por escalar. Vamos escolher o escalar
e aplicar a propriedade:
Sabemos que
para qualquer vetor
, então substituindo:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão
. Multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero. Portanto:
Isso mostra que a transformação linear
mapeia o vetor zero para ele mesmo.
Resposta
Se
é uma transformação linear, então
.