Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial

Passo 1

O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial formado por matrizes onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal secundária, ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço . Temos matrizes da forma:
com a condição . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em função das outras.

Passo 3

Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar :
Isso nos permite reescrever a matriz em termos de , e :

Passo 4

Agora, observamos que as matrizes em são determinadas pelos valores livres de , e . Isso significa que é um subespaço de com 3 dimensões, já que temos três parâmetros livres.

Passo 5

Para encontrar uma base para , vamos expressar a matriz geral como combinação linear de três matrizes independentes. Podemos escrever:
As três matrizes usadas aqui são:
Essas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 3 e uma base para é composta pelas matrizes:

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Encontre uma matriz escalonada equivalente por linhas às matrizes abaixo: (a)
Some os produtos das diagonais que descem e subtraia os produtos das que sobem. Use esse método para calcular os determinantes dos Exercícios de 15 a 18. Cuidado: Esse esquema não se generaliza de nenhuma forma razoável para matrizes ou maiores.
Sejam os vetores e . Mostre que o conjunto é uma base do . Além disso, determine .
Mostre que o conjunto das matrizes com entradas reais, com a operação usual de adição e a multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial real.