Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial
formado por matrizes
onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal secundária, ou seja,
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço
. Temos matrizes da forma:
com a condição
. Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em função das outras.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar
:
Isso nos permite reescrever a matriz em termos de
,
e
:
Passo 4
Agora, observamos que as matrizes em
são determinadas pelos valores livres de
,
e
. Isso significa que
é um subespaço de
com 3 dimensões, já que temos três parâmetros livres.
Passo 5
Para encontrar uma base para
, vamos expressar a matriz geral como combinação linear de três matrizes independentes. Podemos escrever:
As três matrizes usadas aqui são:
Essas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para
.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial
é 3 e uma base para
é composta pelas matrizes: