Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial formado por matrizes onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal secundária, ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço . Temos matrizes da forma:
com a condição . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em função das outras.
Passo 3
Vamos resolver a equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar :
Isso nos permite reescrever a matriz em termos de , e :
Passo 4
Agora, observamos que as matrizes em são determinadas pelos valores livres de , e . Isso significa que é um subespaço de com 3 dimensões, já que temos três parâmetros livres.
Passo 5
Para encontrar uma base para , vamos expressar a matriz geral como combinação linear de três matrizes independentes. Podemos escrever:
As três matrizes usadas aqui são:
Essas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Resposta
A dimensão do espaço vetorial é 3 e uma base para é composta pelas matrizes: