Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
S=[ll a & b c & d ] in M(2,2): a+d=b+c

Passo 1

O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial formado por matrizes onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal secundária, ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço a & b c & d . Temos matrizes da forma:
com a condição . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em função das outras.

Passo 3

Vamos resolver a equação d = b + c - a para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar a & b c & b + c - a :
Isso nos permite reescrever a matriz em termos de , e :

Passo 4

Agora, observamos que as matrizes em são determinadas pelos valores livres de , e . Isso significa que é um subespaço de com 3 dimensões, já que temos três parâmetros livres.

Passo 5

Para encontrar uma base para a & b c & b + c - a = a 1 & 0 0 & -1 + b 0 & 1 0 & 1 + c 0 & 0 1 & 1 , vamos expressar a matriz geral como combinação linear de três matrizes independentes. Podemos escrever:
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 1
As três matrizes usadas aqui são:
Essas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

A dimensão do espaço vetorial 1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 1 é 3 e uma base para é composta pelas matrizes:

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