Mostre que o conjunto das matrizes com entradas reais, com a operação usual de adição e a multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial real.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto , que contém todas as matrizes de tamanho com entradas reais, forma um espaço vetorial real. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de espaços vetoriais da álgebra linear. Precisamos verificar se esse conjunto, junto com as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar, satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa cumprir oito axiomas, ou propriedades, que garantem que essas operações funcionam de maneira consistente.
Passo 3
Vamos começar verificando a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três matrizes , e em , a soma deve obedecer:
Na prática, ao somar as matrizes , e , a ordem em que agrupamos as somas não altera o resultado final.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar a comutatividade da adição. Ou seja, para duas matrizes e :
Isso significa que a ordem das matrizes na soma não muda o resultado.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o elemento neutro da adição, que é uma matriz que, quando somada a qualquer outra matriz , resulta em mesmo. No caso de , esse elemento neutro é a matriz zero, onde todas as entradas são zero:
Passo 6
Vamos verificar a existência dos inversos aditivos. Para cada matriz em , deve existir uma matriz tal que:
Aqui, é simplesmente a matriz obtida multiplicando cada entrada de por .
Passo 7
Agora, vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes. Para um escalar e matrizes e :
Isso garante que multiplicar um escalar pela soma de duas matrizes é o mesmo que multiplicar o escalar por cada matriz individualmente e depois somar.
Passo 8
Também precisamos verificar a distributividade da multiplicação de escalares. Para dois escalares e e uma matriz :
Isso mostra que a soma dos escalares multiplicada pela matriz é igual à soma das multiplicações de cada escalar com a matriz.
Passo 9
Vamos verificar a associatividade da multiplicação por escalares. Para escalares e e uma matriz :
Isso significa que não importa como agrupamos os escalares na multiplicação, o resultado será o mesmo.
Passo 10
Por último, precisamos confirmar a existência de um elemento identidade para a multiplicação por escalar, que é o número . Para qualquer matriz :
Multiplicar uma matriz por não altera a matriz.
Resposta
Como todas as propriedades dos espaços vetoriais foram verificadas para com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, concluímos que este conjunto realmente forma um espaço vetorial real.