Encontre uma matriz escalonada equivalente por linhas às matrizes abaixo: (a) [rrrr1 & 0 & -1 & 0 3 & 3 & 0 & 1 0 & -2 & -6 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar uma matriz escalonada equivalente por linhas à matriz dada. Isso envolve trabalhar com operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra. Vamos precisar usar essas operações para simplificar a matriz até alcançar a forma escalonada.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz que temos:
1 & 0 & -1 & 0 3 & 3 & 0 & 1 0 & -2 & -6 & 2
O objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).

Passo 3

Começamos pela primeira coluna. Já temos um 1 na primeira posição ( ), o que é ótimo. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.

Passo 4

Para zerar o elemento L2 = L2 - 3L1 , podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 3 vezes a primeira linha:
3 - 3(1) = 0 3 - 3(0) = 3 0 - 3(-1) = 3 1 - 3(0) = 1
Calculando:
0 & 3 & 3 & 1
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

A terceira linha já tem um 0 na primeira posição ( 1 & 0 & -1 & 0 0 & 3 & 3 & 1 0 & -2 & -6 & 2 ), então não precisamos fazer nada para ela neste passo.
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o pivô seja 1 na segunda linha. Para isso, dividimos toda a segunda linha por 3:
L2 = 13L2
Calculando:
0 div 3 = 0 3 div 3 = 1 3 div 3 = 1 1 div 3 = 13
A segunda linha agora é:
0 & 1 & 1 & 13

Passo 7

Queremos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna ( L3 = L3 + 2L2 ). Para isso, substituímos a terceira linha pela terceira linha mais 2 vezes a segunda linha:
0 + 2(0) = 0 -2 + 2(1) = 0 -6 + 2(1) = -4 2 + 2(13) = 2 + 23 = 83
Calculando:
0 & 0 & -4 & 83
A terceira linha fica:

Passo 8

Por fim, queremos que o pivô da terceira linha seja 1. Para isso, dividimos toda a terceira linha por -4:
L3 = 1-4L3
Calculando:
0 div -4 = 0 0 div -4 = 0 -4 div -4 = 1 83 div -4 = -23
A terceira linha agora é:
0 & 0 & 1 & -23

Resposta

A matriz escalonada equivalente por linhas é:
1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 13 0 & 0 & 1 & -23

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