Sejam os vetores e . Mostre que o conjunto é uma base do . Além disso, determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A tarefa é mostrar que o conjunto forma uma base para . Além disso, precisamos encontrar as coordenadas do vetor na base , ou seja, determinar . Para isso, vamos usar conceitos de bases, independência linear e representação de vetores em uma base.

Passo 2

Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas:
  1. Independência Linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Espaço Gerado: Os vetores devem gerar todo o espaço .
Uma maneira eficiente de verificar isso é formando uma matriz com os vetores como colunas e calculando seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos construir a matriz com os vetores , e como colunas:
Agora, calculamos o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor na base . Isso significa que queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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Encontre os escalares e que satisfazem .