Sejam os vetores v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e v3=(1,-1,1). Mostre que o conjunto B=v1, v2, v3 é uma base do R^3. Além disso, determine [(2,-3,4)]B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3: v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e v3=(1,-1,1). A tarefa é mostrar que o conjunto B = v1, v2, v3 forma uma base para R^3. Além disso, precisamos encontrar as coordenadas do vetor (2,-3,4) na base B, ou seja, determinar [(2,-3,4)]B. Para isso, vamos usar conceitos de bases, independência linear e representação de vetores em uma base.

Passo 2

Para mostrar que B é uma base de R^3, precisamos verificar duas coisas:
  1. Independência Linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Espaço Gerado: Os vetores devem gerar todo o espaço R^3.
Uma maneira eficiente de verificar isso é formando uma matriz com os vetores como colunas e calculando seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos construir a matriz A com os vetores v1, v2 e v3 como colunas:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Agora, calculamos o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) - 0 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 - 0 + 0 = 1
Como det(A) = 1 neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, B é uma base de R^3.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor (2,-3,4) na base B. Isso significa que queremos encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
c1v1 + c2v2 + c3v3 = (2,-3,4)
Substituindo os vetores:
c1(1,0,0) + c2(0,1,0) + c3(1,-1,1) = (2,-3,4)
Isso resulta no sistema de equações:
c1 + c3 = 2 c2 - c3 = -3 c3 = 4
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, já sabemos que c3 = 4.
  2. Substituindo c3 na primeira equação: c1 + 4 = 2 Rightarrow c1 = -2.
  3. Substituindo c3 na segunda equação: c2 - 4 = -3 Rightarrow c2 = 1.

Resposta

As coordenadas do vetor (2,-3,4) na base B são [-2, 1, 4].

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