Determinar as dimensões do retângulo de maior área, que pode ser inscrito no círculo de raio igual a 3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as dimensões do retângulo com a maior área possível que pode ser inscrito em um círculo de raio igual a 3. Aqui, estamos trabalhando com geometria, especificamente com propriedades de figuras inscritas em círculos. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos sobre retângulos, círculos e a relação entre suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um retângulo está inscrito em um círculo, todos os seus quatro vértices tocam a circunferência do círculo. Isso significa que a diagonal do retângulo é igual ao diâmetro do círculo. Como o raio do círculo é 3, o diâmetro será:
â

Passo 3

Se chamarmos a largura do retângulo de e a altura de , a diagonal do retângulo pode ser relacionada por:
Sabemos que , então:

Passo 4

Queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:
Nossa meta é encontrar os valores de e que maximizam sob a condição .

Passo 5

Para maximizar com a restrição , podemos usar o método de substituição. Isolando :
Então, a área em função de fica:

Passo 6

Para encontrar o máximo dessa função, podemos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Simplificando:

Passo 7

Agora que encontramos , podemos encontrar usando :

Resposta

As dimensões do retângulo de maior área inscrito no círculo de raio 3 são unidades de largura e unidades de altura, ou seja, um quadrado com lados de comprimento .

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