Determinar as dimensões do retângulo de maior área, que pode ser inscrito no círculo de raio igual a 3.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as dimensões do retângulo com a maior área possível que pode ser inscrito em um círculo de raio igual a 3. Aqui, estamos trabalhando com geometria, especificamente com propriedades de figuras inscritas em círculos. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos sobre retângulos, círculos e a relação entre suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um retângulo está inscrito em um círculo, todos os seus quatro vértices tocam a circunferência do círculo. Isso significa que a diagonal do retângulo é igual ao diâmetro do círculo. Como o raio do círculo é 3, o diâmetro será:
Passo 3
Se chamarmos a largura do retângulo de
e a altura de
, a diagonal
do retângulo pode ser relacionada por:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Queremos maximizar a área
do retângulo, que é dada por:
Nossa meta é encontrar os valores de
e
que maximizam
sob a condição
.
Passo 5
Para maximizar
com a restrição
, podemos usar o método de substituição. Isolando
:
Então, a área em função de
fica:
Passo 6
Para encontrar o máximo dessa função, podemos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Simplificando:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando
:
Resposta
As dimensões do retângulo de maior área inscrito no círculo de raio 3 são
unidades de largura e
unidades de altura, ou seja, um quadrado com lados de comprimento
.
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, pelo lixo
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&
e
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(a)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(a)
(a)