Oeterminie a aría da regià limitada pila curva
, pelo lixo
pelar vetas
&
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas verticais
e
. Vamos usar o cálculo integral para isso, especificamente a integração definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A curva
é a função logarítmica natural. Queremos a área entre essa curva e o eixo
(onde
), entre
e
. Para calcular essa área, vamos integrar a função
de 1 até
.
Passo 3
A fórmula para a área
é dada por:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 4
Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 5
Calculando
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Resposta
A área da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
é igual a 1.
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