Oeterminie a aría da regià limitada pila curva , pelo lixo pelar vetas & e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e . Vamos usar o cálculo integral para isso, especificamente a integração definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A curva é a função logarítmica natural. Queremos a área entre essa curva e o eixo (onde ), entre e . Para calcular essa área, vamos integrar a função de 1 até .

Passo 3

A fórmula para a área é dada por:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Para integrar , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e . Então, precisamos encontrar e .

Passo 5

Calculando e :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :
Sabemos que e , então substituindo:

Resposta

A área da região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e é igual a 1.

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