integral-infty^0 3 e^4 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos que calcular a integral definida de de menos infinito até zero. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções exponenciais e limites de integrais quando os limites de integração são infinitos. Vamos precisar saber como encontrar a antiderivada de uma função exponencial e como aplicar os limites para resolver essa integral.

Passo 2

Vamos começar encontrando a antiderivada da função integral 3 e^4x , dx = 3 cdot 14 e^4x + C = 34 e^4x + C . A antiderivada de é , onde é uma constante. No nosso caso, .
Então, a antiderivada de será:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são de menos infinito até zero. Isso significa que vamos calcular:
34 e^4x |-infty^0 = 34 e^4 cdot 0 - limx to -infty 34 e^4x

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, para 34 e^4 cdot 0 = 34 e^0 = 34 cdot 1 = 34 :
limx to -infty 34 e^4x = 34 cdot 0 = 0
Agora, para tendendo a menos infinito, se aproxima de zero, porque a exponencial com potência negativa grande tende a zero:

Resposta

A integral vale .

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