Determinar a distância do ponto
ao plano
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica. O objetivo é encontrar a distância de um ponto no espaço,
, até um plano definido pela equação
. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula que calcula a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos relembrar a fórmula para calcular a distância entre um ponto
e um plano dado pela equação geral
. A fórmula é:
Aqui,
,
, e
são os coeficientes das variáveis na equação do plano, e
é o termo constante.
Passo 3
No nosso caso, a equação do plano é
. Para aplicar a fórmula, precisamos reescrever a equação na forma geral
. Observando que não há termo em
, podemos considerar
. Então:
Aqui, temos:
Passo 4
Agora, vamos identificar as coordenadas do ponto
:
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Passo 6
Agora, substituindo os valores calculados na fórmula da distância:
Resposta
A distância do ponto
ao plano
é
unidades.
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é um ideal não-nulo em
, mostre que
deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que
, onde
é o menor inteiro positivo com
.]
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(a) Prove que
é subespaço vetorial de
.