Determinar a distância do ponto P(2,-1,2) ao plano pi: 2 x+y=3

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica. O objetivo é encontrar a distância de um ponto no espaço, P(2, -1, 2), até um plano definido pela equação 2x + y = 3. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula que calcula a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos relembrar a fórmula para calcular a distância entre um ponto P(x0, y0, z0) e um plano dado pela equação geral Ax + By + Cz + D = 0. A fórmula é:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, A, B, e C são os coeficientes das variáveis na equação do plano, e D é o termo constante.

Passo 3

No nosso caso, a equação do plano é 2x + y = 3. Para aplicar a fórmula, precisamos reescrever a equação na forma geral Ax + By + Cz + D = 0. Observando que não há termo em z, podemos considerar C = 0. Então:
2x + y - 3 = 0
Aqui, temos:
  • A = 2
  • B = 1
  • C = 0
  • D = -3

Passo 4

Agora, vamos identificar as coordenadas do ponto P:
  • x0 = 2
  • y0 = -1
  • z0 = 2
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
d = |2 cdot 2 + 1 cdot (-1) + 0 cdot 2 - 3|raiz2^2 + 1^2 + 0^2

Passo 5

Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Calculando o numerador:
2 cdot 2 + 1 cdot (-1) + 0 cdot 2 - 3 = 4 - 1 + 0 - 3 = 0
Calculando o denominador:
raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5

Passo 6

Agora, substituindo os valores calculados na fórmula da distância:
d = |0|raiz5 = 0raiz5 = 0

Resposta

A distância do ponto P(2, -1, 2) ao plano pi: 2x + y = 3 é 0 unidades.

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