(a) Prove que
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
é um subespaço vetorial de
. Isso está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas:
- O vetor zero está em
. - Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em . - Se um vetor está em
, qualquer múltiplo escalar dele também está em .
Passo 2
Primeiro, precisamos saber exatamente o que é
. Geralmente,
é definido por algum tipo de condição ou equação. Por exemplo,
pode ser um conjunto de vetores em
que satisfazem uma determinada equação linear, como
.
Passo 3
Vamos supor que
seja definido assim:
onde
são constantes reais.
Passo 4
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos substituir na equação:
Isso confirma que o vetor zero está em
.
Passo 5
2. Verificar se a soma de dois vetores em
está em
:
Vamos considerar dois vetores
e
que estão em
. Então:
Agora, somamos os vetores:
Vamos verificar se
está em
:
Portanto,
também está em
.
Passo 6
3. Verificar se um múltiplo escalar de um vetor em
está em
:
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
. Então:
Agora, multiplicamos o vetor por
:
Vamos verificar se
está em
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Como verificamos que o vetor zero está em
, que a soma de quaisquer dois vetores de
também está em
, e que qualquer múltiplo escalar de um vetor de
permanece em
, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
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ao plano
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é definido por
.
Escolher…
Seja
Escolher…
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a)
a)