(a) Prove que F é subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que é um subespaço vetorial de . Isso está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está em .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber exatamente o que é . Geralmente, é definido por algum tipo de condição ou equação. Por exemplo, pode ser um conjunto de vetores em que satisfazem uma determinada equação linear, como .

Passo 3

Vamos supor que F = (x, y, z) in R^3 mid ax + by + cz = 0 seja definido assim:
onde são constantes reais.

Passo 4

1. Verificar se o vetor zero está em a(0) + b(0) + c(0) = 0 :
O vetor zero em 0 = 0 é . Vamos substituir na equação:
Isso confirma que o vetor zero está em .

Passo 5

2. Verificar se a soma de dois vetores em a x1 + b y1 + c z1 = 0 está em a x2 + b y2 + c z2 = 0 :
Vamos considerar dois vetores u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2) = (a x1 + b y1 + c z1) + (a x2 + b y2 + c z2) = 0 + 0 = 0 que estão em . Então:
Agora, somamos os vetores:
Vamos verificar se está em :
Portanto, também está em .

Passo 6

3. Verificar se um múltiplo escalar de um vetor em a x + b y + c z = 0 está em k u = (k x, k y, k z) :
Vamos pegar um vetor a(k x) + b(k y) + c(k z) = k(ax + by + cz) = k cdot 0 = 0 em e um escalar . Então:
Agora, multiplicamos o vetor por :
Vamos verificar se está em :
Assim, também está em .

Resposta

Como verificamos que o vetor zero está em , que a soma de quaisquer dois vetores de também está em , e que qualquer múltiplo escalar de um vetor de permanece em , concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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