(a) Prove que é subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que é um subespaço vetorial de . Isso está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está em .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber exatamente o que é . Geralmente, é definido por algum tipo de condição ou equação. Por exemplo, pode ser um conjunto de vetores em que satisfazem uma determinada equação linear, como .

Passo 3

Vamos supor que seja definido assim:
onde são constantes reais.

Passo 4

1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos substituir na equação:
Isso confirma que o vetor zero está em .

Passo 5

2. Verificar se a soma de dois vetores em está em :
Vamos considerar dois vetores e que estão em . Então:
Agora, somamos os vetores:
Vamos verificar se está em :
Portanto, também está em .

Passo 6

3. Verificar se um múltiplo escalar de um vetor em está em :
Vamos pegar um vetor em e um escalar . Então:
Agora, multiplicamos o vetor por :
Vamos verificar se está em :
Assim, também está em .

Resposta

Como verificamos que o vetor zero está em , que a soma de quaisquer dois vetores de também está em , e que qualquer múltiplo escalar de um vetor de permanece em , concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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a)