Determinar os vértices, centro, focos, excentricidade e esboçar o gráfico das seguintes hipérboles:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos. A gente precisa encontrar os vértices, o centro, os focos, a excentricidade e fazer um esboço do gráfico da hipérbole dada pela equação:
Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente o estudo das hipérboles. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e, em seguida, identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da hipérbole para a forma padrão. A forma geral da hipérbole é:
ou
Dependendo da orientação da hipérbole (horizontal ou vertical).
Vamos agrupar os termos de
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para isso, pegamos metade do coeficiente de
(que é -4), ou seja, -2, e elevamos ao quadrado, resultando em 4.
Então:
Completando o quadrado para
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(que é 2), ou seja, 1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1.
Então:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Agora, isolamos os termos com
e
:
Para chegar à forma padrão, dividimos todos os termos por -144:
Simplificando os sinais:
Multiplicando ambos os lados por -1 para ter o lado positivo igual a 1:
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
Passo 5
Identificando os parâmetros:
Comparando com a forma padrão:
- Centro
: -
então -
então
Vértices:
Para hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
Então:
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Focos:
A fórmula para encontrar os focos é:
Calculando:
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
- Foco 1:
- Foco 2:
Excentricidade:
A excentricidade
é dada por:
Calculando:
Passo 6
Esboçando o gráfico:
-
Centro:
-
Vértices:
e -
Focos:
e -
Eixos:
- Eixo Transversal (vertical): liga os vértices.
- Eixo Conjugado (horizontal): perpendicular ao eixo transversal.
-
As Assíntotas:
As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por:Substituindo:Isso ajuda a desenhar as linhas que a hipérbole se aproxima, mas nunca toca. -
Desenho:
- Plote o centro, vértices e focos.
- Desenhe as assíntotas.
- Desenhe os ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Esboço do Gráfico: Hipérbole vertical com centro em
, vértices em e , focos em e , e assíntotas dadas por .