Determinar os vértices, centro, focos, excentricidade e esboçar o gráfico das seguintes hipérboles:
16 x^2-9 y^2-64 x-18 y+199=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos. A gente precisa encontrar os vértices, o centro, os focos, a excentricidade e fazer um esboço do gráfico da hipérbole dada pela equação:
16 x^2-9 y^2-64 x-18 y+199=0
Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente o estudo das hipérboles. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e, em seguida, identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da hipérbole para a forma padrão. A forma geral da hipérbole é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
ou
(y - k)^2b^2 - (x - h)^2a^2 = 1
Dependendo da orientação da hipérbole (horizontal ou vertical).
Vamos agrupar os termos de 16x^2 - 64x - 9y^2 - 18y + 199 = 0 e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e .

Passo 3

Completando o quadrado para 16(x^2 - 4x):
Fatoramos o coeficiente de 16(x^2 - 4x + 4 - 4) = 16[(x - 2)^2 - 4] = 16(x - 2)^2 - 64:
-9(y^2 + 2y)
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para isso, pegamos metade do coeficiente de -9(y^2 + 2y + 1 - 1) = -9[(y + 1)^2 - 1] = -9(y + 1)^2 + 9 (que é -4), ou seja, -2, e elevamos ao quadrado, resultando em 4.
Então:
Completando o quadrado para :
Fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado, pegamos metade do coeficiente de (que é 2), ou seja, 1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1.
Então:

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões de volta na equação original:
16(x - 2)^2 - 64 - 9(y + 1)^2 + 9 + 199 = 0
Simplificando os termos constantes:
16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 - 64 + 9 + 199 = 0
16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 + 144 = 0
Agora, isolamos os termos com 16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = -144 e 16(x - 2)^2-144 - 9(y + 1)^2-144 = 1:
(x - 2)^29 - (y + 1)^216 = -1
Para chegar à forma padrão, dividimos todos os termos por -144:
(y + 1)^216 - (x - 2)^29 = 1
Simplificando os sinais:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Multiplicando ambos os lados por -1 para ter o lado positivo igual a 1:
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:

Passo 5

Identificando os parâmetros:
Comparando com a forma padrão:
  • Centro c = raiza^2 + b^2: c = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
  • e = ca então e = 54 = 1,25
  • então
Vértices:
Para hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo .
Então:
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:
Focos:
A fórmula para encontrar os focos é:
Calculando:
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
  • Foco 1:
  • Foco 2:
Excentricidade:
A excentricidade é dada por:
Calculando:

Passo 6

Esboçando o gráfico:
  1. Centro: y = k pm ab(x - h)
  2. Vértices: y = -1 pm 43(x - 2) e
  3. Focos: e
  4. Eixos:
    • Eixo Transversal (vertical): liga os vértices.
    • Eixo Conjugado (horizontal): perpendicular ao eixo transversal.
  5. As Assíntotas:
    As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por:
    Substituindo:
    Isso ajuda a desenhar as linhas que a hipérbole se aproxima, mas nunca toca.
  6. Desenho:
    • Plote o centro, vértices e focos.
    • Desenhe as assíntotas.
    • Desenhe os ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Esboço do Gráfico: Hipérbole vertical com centro em , vértices em e , focos em e , e assíntotas dadas por .

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