Determinar a distância do ponto P=(2,-1,2) aos planos pi1: 2 x-2 y-z+3= 0 e pi2: x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a distância do ponto aos dois planos dados:
Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano na geometria analítica. Vamos precisar entender essa fórmula e aplicá-la a cada plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular a distância d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto a um plano dado pela equação :
Essa fórmula basicamente nos dá a menor distância do ponto ao plano, usando os coeficientes da equação do plano e as coordenadas do ponto.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao primeiro plano .
Aqui, identificamos os coeficientes da equação do plano:
E as coordenadas do ponto são .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da distância:
d1 = |2 cdot 2 + (-2) cdot (-1) + (-1) cdot 2 + 3|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Calculando o numerador:
2 cdot 2 = 4
-2 cdot (-1) = 2
-1 cdot 2 = -2
4 + 2 - 2 + 3 = 7
Então, o valor absoluto do numerador é .

Passo 6

Agora, o denominador:
raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 7

Finalmente, a distância d1 = 73 approx 2,33 é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a distância ao segundo plano .
Os coeficientes são:

Passo 9

Substituindo na fórmula da distância:
d2 = |1 cdot 2 + 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 0|raiz1^2 + 1^2 + 1^2
Vamos novamente calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 10

Calculando o numerador:
1 cdot 2 = 2
1 cdot (-1) = -1
1 cdot 2 = 2
2 - 1 + 2 + 0 = 3
Então, o valor absoluto do numerador é .

Passo 11

Agora, o denominador:
raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 approx 1,732

Passo 12

Finalmente, a distância d2 = 31,732 approx 1,732 é:

Resposta

A distância do ponto aos planos é:
  • Distância ao plano : unidades
  • Distância ao plano : unidades

Exercícios relacionados