Determine uma matriz P que diagonaliza
[T]=[ccc 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz que diagonalize a matriz dada. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de autovalores e autovetores. Precisamos encontrar os autovalores de e, para cada um deles, os autovetores correspondentes. Com isso, podemos montar a matriz que vai fazer a diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(T - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Calculando T - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & -1 0 & 2 & 4 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 1 - lambda & -1 2 & 4 - lambda - 1 cdot det 0 & -1 0 & 4 - lambda + 0 cdot det 0 & 1 - lambda 0 & 2
Simplificando:
= (2 - lambda) cdot [(1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2)] - 1 cdot [0 cdot (4 - lambda) - (-1)(0)] + 0
= (2 - lambda) cdot [(1 - lambda)(4 - lambda) + 2]

Passo 5

Expandindo a expressão dentro do colchete:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Então:
(2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4 + 2) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6)

Passo 6

Agora, multiplicando:
(2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0
Isso nos dá os autovalores lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 implies lambda = 2 ou lambda = 3 :
E
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 0 & 1 & 0 0 & -1 & -1 0 & 2 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 0v1 + v2 + 0v3 = 0 0v1 - v2 - v3 = 0 0v1 + 2v2 + 2v3 = 0 :
v1 = 1 0 0
Isso nos dá as equações:
-1 & 1 & 0 0 & -2 & -1 0 & 2 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando, temos - v1 + v2 = 0 -2v2 - v3 = 0 2v2 + v3 = 0 e v2 = 1 1 -2 . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Da primeira equação, . Então, o autovetor pode ser escrito como:

Passo 8

Agora que temos os autovetores, podemos formar a matriz P = 1 & 1 0 & 1 0 & -2 com eles como colunas:

Resposta

A matriz P = 1 & 1 0 & 1 0 & -2 que diagonaliza é:

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