Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 8 y^2-3 x^2-64 y-30 x+29=0

Passo 1

Beleza, temos a equação 8 y^2 - 3 x^2 - 64 y - 30 x + 29 = 0. O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa e esboçá-la usando o método de completamento de quadrados. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que possamos completar os quadrados para os termos de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos de y e os termos de x juntos:
8 y^2 - 64 y - 3 x^2 - 30 x + 29 = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar o completamento do quadrado. Fatorando 8 em relação a y e -3 em relação a x:
8(y^2 - 8y) - 3(x^2 + 10x) + 29 = 0

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de y. Tomamos o coeficiente de y, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(-82)^2 = 16
Então adicionamos e subtraímos 16 dentro do parêntese:
8(y^2 - 8y + 16 - 16) - 3(x^2 + 10x) + 29 = 0
Simplificando:
8((y - 4)^2 - 16) - 3(x^2 + 10x) + 29 = 0

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x. Pegamos o coeficiente de x, que é 10, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(102)^2 = 25
Adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:
8((y - 4)^2 - 16) - 3(x^2 + 10x + 25 - 25) + 29 = 0
Simplificando:
8(y - 4)^2 - 128 - 3((x + 5)^2 - 25) + 29 = 0

Passo 6

Vamos distribuir os coeficientes 8 e -3:
8(y - 4)^2 - 128 - 3(x + 5)^2 + 75 + 29 = 0
Agora, somamos os números constantes:
8(y - 4)^2 - 3(x + 5)^2 - 24 = 0

Passo 7

Vamos isolar os termos quadráticos:
8(y - 4)^2 - 3(x + 5)^2 = 24
Dividindo ambos os lados por 24 para obter a equação na forma padrão:
(y - 4)^23 - (x + 5)^28 = 1

Passo 8

Identificamos que a equação está na forma padrão de uma hipérbole:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde o centro da hipérbole é (h, k) = (-5, 4), a^2 = 3 e b^2 = 8.

Resposta

A equação 8 y^2 - 3 x^2 - 64 y - 30 x + 29 = 0 representa uma hipérbole com centro em (-5, 4), e sua forma padrão é (y - 4)^23 - (x + 5)^28 = 1.

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