Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados.
Passo 1
Beleza, temos a equação
. O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa e esboçá-la usando o método de completamento de quadrados. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que possamos completar os quadrados para os termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos de
e os termos de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar o completamento do quadrado. Fatorando 8 em relação a
e -3 em relação a
:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Tomamos o coeficiente de
, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então adicionamos e subtraímos 16 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Pegamos o coeficiente de
, que é 10, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 6
Vamos distribuir os coeficientes 8 e -3:
Agora, somamos os números constantes:
Passo 7
Vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por 24 para obter a equação na forma padrão:
Passo 8
Identificamos que a equação está na forma padrão de uma hipérbole:
Onde o centro da hipérbole é
,
e
.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com centro em
, e sua forma padrão é
.