Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e precisamos identificar e esboçar a cônica correspondente usando o método de completamento de quadrados. Para isso, vamos precisar entender sobre cônicas (como elipse, hipérbole, parábola) e saber como completar quadrados em equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
juntos. Isso facilita o processo de completar os quadrados para cada variável. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, vamos fatorar o coeficiente de
que é 4:
Dentro do parênteses, para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(que é -4), ou seja, -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4. Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Passo 4
Vamos agora completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
, que é -9:
Dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de
(que é 2), ou seja, 1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 5
Vamos simplificar a equação combinando os termos constantes:
Agora, vamos dividir toda a equação por 36 para deixar na forma padrão da cônica:
Passo 6
A equação final está na forma padrão de uma hipérbole:
Comparando, temos:
- Centro
-
então -
então
Isso nos mostra que a cônica é uma hipérbole com centro em
, eixo vertical (porque o termo de
é positivo) e se abre para cima e para baixo.
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em
, que se abre verticalmente. A equação na forma padrão é
. O esboço dessa hipérbole tem seus vértices a 3 unidades acima e abaixo do centro, e as assíntotas com inclinação
.