Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 4 y^2-9 x^2-16 y-18 x-29=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação e precisamos identificar e esboçar a cônica correspondente usando o método de completamento de quadrados. Para isso, vamos precisar entender sobre cônicas (como elipse, hipérbole, parábola) e saber como completar quadrados em equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 4 y^2 - 16 y - 9 x^2 - 18 x = 29 e os termos de juntos. Isso facilita o processo de completar os quadrados para cada variável. Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(y^2 - 4y) - 9x^2 - 18x = 29. Para isso, vamos fatorar o coeficiente de 4(y^2 - 4y + 4 - 4) - 9x^2 - 18x = 29 que é 4:
4((y - 2)^2 - 4) - 9x^2 - 18x = 29
Dentro do parênteses, para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de 4(y - 2)^2 - 16 - 9x^2 - 18x = 29 (que é -4), ou seja, -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4. Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:

Passo 4

Vamos agora completar o quadrado para os termos de 4(y - 2)^2 - 16 - 9(x^2 + 2x) = 29. Primeiro, fatoramos o coeficiente de 4(y - 2)^2 - 16 - 9(x^2 + 2x + 1 - 1) = 29, que é -9:
4(y - 2)^2 - 16 - 9((x + 1)^2 - 1) = 29
Dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de 4(y - 2)^2 - 16 - 9(x + 1)^2 + 9 = 29 (que é 2), ou seja, 1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 5

Vamos simplificar a equação combinando os termos constantes:
4(y - 2)^2 - 9(x + 1)^2 - 7 = 29
4(y - 2)^2 - 9(x + 1)^2 = 36
Agora, vamos dividir toda a equação por 36 para deixar na forma padrão da cônica:
4(y - 2)^236 - 9(x + 1)^236 = 1
(y - 2)^29 - (x + 1)^24 = 1

Passo 6

A equação final está na forma padrão de uma hipérbole:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Comparando, temos:
  • Centro
  • então
  • então
Isso nos mostra que a cônica é uma hipérbole com centro em , eixo vertical (porque o termo de é positivo) e se abre para cima e para baixo.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em , que se abre verticalmente. A equação na forma padrão é . O esboço dessa hipérbole tem seus vértices a 3 unidades acima e abaixo do centro, e as assíntotas com inclinação .

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