Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 3 x^2+12 x y+12 y^2-75=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e desenhar uma cônica a partir da sua equação usando o método de completamento de quadrados. A matéria aqui envolve Álgebra, especificamente o estudo das cônicas (círculos, elipses, hipérboles e parábolas) e como manipular equações quadráticas para determinar qual delas estamos lidando. Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados na equação dada e analisar os coeficientes para identificar a cônica correta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação:
3x^2 + 12xy + 12y^2 - 75 = 0
Perceba que temos termos quadráticos em e , além de um termo de . Nosso objetivo é reescrever essa equação de forma que possamos identificar a cônica.

Passo 3

Vamos dividir todos os termos por 3 para simplificar a equação:
3x^23 + 12xy3 + 12y^23 - 753 = 0
Simplificando:
x^2 + 4xy + 4y^2 - 25 = 0

Passo 4

Agora, vamos tentar completar os quadrados. Primeiro, agrupamos os termos quadráticos:
x^2 + 4xy + 4y^2 = 25
Observamos que (x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 se parece com um quadrado perfeito. De fato:
(x + 2y)^2 = 25
Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x + 2y = pm raiz25
x + 2y = pm 5
Isso nos dá duas equações lineares:

Passo 6

Essas duas equações representam duas retas. A interseção dessas retas com a equação original nos ajuda a identificar a cônica. No entanto, já que chegamos a duas retas paralelas, isso indica que a cônica é um par de retas.

Passo 7

Portanto, a equação original representa duas retas paralelas:
x + 2y = 5
x + 2y = -5

Resposta

A cônica representada pela equação é um par de retas paralelas dadas por e . O esboço seria duas retas paralelas inclinadas no plano cartesiano.

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