Determinar a distância do ponto P=(1,0,-2) à reta A B, sendo A=(1,1,1) e B=(2,3,-1)
R: 2,87

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância do ponto até a reta , onde e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta AB = B - A = (2-1, 3-1, -1-1) = (1, 2, -2) . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor que vai de AP = P - A = (1-1, 0-1, -2-1) = (0, -1, -3) até :

Passo 4

Para encontrar a distância do ponto d = ||AB times AP||||AB|| à reta , usamos a fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial, e é a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AB times AP = i & j & k 1 & 2 & -2 0 & -1 & -3 = i(2 cdot (-3) - (-2) cdot (-1)) - j(1 cdot (-3) - (-2) cdot 0) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 0) :
= i(-6 - 2) - j(-3 - 0) + k(-1 - 0) = i(-8) + j(3) + k(-1)
AB times AP = (-8, 3, -1)

Passo 6

Agora, calculamos a norma desse vetor:
||AB times AP|| = raiz(-8)^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz64 + 9 + 1 = raiz74

Passo 7

Também precisamos da norma de ||AB|| = raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
d = raiz743 approx 8,63 approx 2,87

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Entre os vetores seguintes, quais são unitários?
a) (12, 12)
b) (35,-45)
c) (-1,0)
d) (raiz32, 12)
e) (13, 23)
Determinar as distâncias dos seguintes pares de pontos:
b) A=(1,1,-1) e B=(3,-5,2) R: 7
Sejam A=(2,5), B=(10, 12), C=(0,-9), D=(-4,-8). Encontre os vetores:
A C
Determinar o versor de v nos casos
v=(10,0)