Determinar a distância entre o ponto P e a reta r nos seguintes casos
a) P=(1,2,-1) e r : x-12=y-1=z+23
R: 2,22

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para encontrar a distância entre o ponto e a reta definida pelas equações . Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica e Vetores. Precisamos entender como representar a reta de forma paramétrica e aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta x - 12 = y-1 = z + 23 = t de forma paramétrica. As equações dadas são:
x = 1 + 2t
Onde y = 0 - t (já que y = y-1=t Rightarrow y = -t) é o parâmetro. Assim, podemos expressar as coordenadas z = -2 + 3t em função de r(t) = (1 + 2t, -t, -2 + 3t) :
á
Portanto, a parametrização da reta é:

Passo 3

Agora, identificamos um ponto qualquer que pertence à reta r(0) = (1, 0, -2) . Se escolhermos , temos:
Então, o ponto está na reta .

Passo 4

Em seguida, precisamos do vetor diretor da reta v = (2, -1, 3) . Observando a parametrização, o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :

Passo 5

A fórmula para calcular a distância d = ||PQ times v||||v|| entre um ponto e uma reta no espaço é:
Onde:
  • é o vetor que vai de para .
  • representa o produto vetorial.
  • denota o módulo do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o vetor PQ = P - Q = (1 - 1, 2 - 0, -1 - (-2)) = (0, 2, 1) :

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial PQ times v = i & j & k 0 & 2 & 1 2 & -1 & 3 :
PQ times v = i(2 cdot 3 - 1 cdot (-1)) - j(0 cdot 3 - 1 cdot 2) + k(0 cdot (-1) - 2 cdot 2)
Calculando o determinante:
= i(6 + 1) - j(0 - 2) + k(0 - 4)
= 7i + 2j - 4k
PQ times v = (7, 2, -4)
Então,

Passo 8

Vamos calcular o módulo do vetor resultante:
||PQ times v|| = raiz7^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz49 + 4 + 16 = raiz69 approx 8,3066

Passo 9

Agora, calculamos o módulo do vetor diretor ||v|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 approx 3,7417 :

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 8,30663,7417 approx 2,222

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é aproximadamente 2,22 unidades.

Exercícios relacionados

Mostre que as retas
r:l x=t-1 y=3 t-10, z=5-2 t e s:l x=3 t-10 y=5 t-21 z=7-2 t
são concorrentes e encontre o ponto de interseção.
Dar a equação vetorial da reta r que passa por P=(1,1,1) e é paralela ao vetor v= (3,1,-1).
R: r:(x, y, z)=(1,1,1)+(3,2,-1) t
Determine a interseção dos planos x+2 y-z=0 e -x+y-2 z=1.
Verifique se as retas
r:l x=3-2 t y=-4 t-1, z=4-3 t e s:l x=-2 t-1 y=-4 t-9 z=-3 t-2
são coincidentes ou paralelas.