Mostre que as retas
r:l x=t-1 y=3 t-10, z=5-2 t e s:l x=3 t-10 y=5 t-21 z=7-2 t
são concorrentes e encontre o ponto de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que as retas e são concorrentes, ou seja, que elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das retas no espaço tridimensional e como encontrar o ponto de interseção entre elas. Vamos precisar comparar as equações paramétricas das duas retas e resolver um sistema de equações para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as coordenadas , e serem iguais nas duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas de cada reta conforme o enunciado:
Para a reta x = t - 1 y = 3t - 10 z = 5 - 2t :
x = 3u - 10 y = 5u - 21 z = 7 - 2u
Para a reta :
(Note que, para evitar confusão, usamos como parâmetro para a reta .)

Passo 3

Queremos encontrar um ponto comum às duas retas, ou seja, valores de t - 1 = 3u - 10 (1) 3t - 10 = 5u - 21 (2) 5 - 2t = 7 - 2u (3) e que satisfaçam simultaneamente as equações das retas e . Isso significa que devemos igualar as coordenadas correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações formado. Começamos com a equação (1):
t - 1 = 3u - 10 Rightarrow t = 3u - 9 (4)
Agora, substituímos 3(3u - 9) - 10 = 5u - 21 9u - 27 - 10 = 5u - 21 9u - 37 = 5u - 21 9u - 5u = -21 + 37 4u = 16 u = 4 da equação (4) na equação (2):

Passo 5

Com t = 3(4) - 9 t = 12 - 9 t = 3 , substituímos de volta na equação (4) para encontrar :

Passo 6

Agora, vamos verificar se os valores encontrados satisfazem a terceira equação (3):
5 - 2(3) = 7 - 2(4) 5 - 6 = 7 - 8 -1 = -1
Como a igualdade é verdadeira, os valores de e que encontramos estão corretos.

Resposta

As retas e são concorrentes e se intersectam no ponto .

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