Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar dois vetores unitários que são tangentes ao hodógrafo da função dada no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com vetores e movimento em espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada do hodógrafo para obter o vetor tangente e, em seguida, normalizá-lo para ter comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função hodógrafo
em relação a
. A função dada é:
A derivada de
, que representa o vetor velocidade ou vetor tangente
, é obtida derivando cada componente em relação a
:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
. Para isso, igualamos cada componente de
às coordenadas de
:
Confirmamos que
corresponde ao ponto
.
Passo 4
Com
, vamos calcular o vetor tangente
:
Passo 5
Para obter os vetores unitários, precisamos normalizar
. Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de
:
Passo 6
Agora, normalizamos
dividindo cada componente pelo seu comprimento:
Passo 7
Como a tangente é uma única direção, mas queremos dois vetores unitários, podemos considerar que existem duas direções opostas para o vetor tangente. Portanto, o segundo vetor unitário será o oposto do primeiro:
Resposta
Os dois vetores unitários tangentes ao hodógrafo no ponto
são:
Exercícios relacionados
Suponha que
.
está aumentando ou diminuindo em
na direção
?
Mostre que
Se
, determine a taxa de variação de
no ponto
na direção de
a
.
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.