Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar dois vetores unitários que são tangentes ao hodógrafo da função dada no ponto . Aqui, estamos trabalhando com vetores e movimento em espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada do hodógrafo para obter o vetor tangente e, em seguida, normalizá-lo para ter comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função hodógrafo em relação a . A função dada é:
A derivada de , que representa o vetor velocidade ou vetor tangente , é obtida derivando cada componente em relação a :
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Para isso, igualamos cada componente de às coordenadas de :
Confirmamos que corresponde ao ponto .

Passo 4

Com , vamos calcular o vetor tangente :

Passo 5

Para obter os vetores unitários, precisamos normalizar . Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de :

Passo 6

Agora, normalizamos dividindo cada componente pelo seu comprimento:

Passo 7

Como a tangente é uma única direção, mas queremos dois vetores unitários, podemos considerar que existem duas direções opostas para o vetor tangente. Portanto, o segundo vetor unitário será o oposto do primeiro:

Resposta

Os dois vetores unitários tangentes ao hodógrafo no ponto são:

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Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.