Se , determine a taxa de variação de no ponto na direção de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação da função no ponto na direção do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e o produto escalar para determinar a taxa de variação na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de crescimento da função e suas componentes são as derivadas parciais de em relação a e .
Calculemos as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:
No ponto :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor direção da direção de para . Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas de e :
Para usar esse vetor na fórmula da taxa de variação, ele precisa ser normalizado, ou seja, transformado em um vetor unitário. Primeiro, calculamos o módulo do vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A taxa de variação da função na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção de a é 1.

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