Se
, determine a taxa de variação de
no ponto
na direção de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação da função
no ponto
na direção do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e o produto escalar para determinar a taxa de variação na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de crescimento da função e suas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculemos as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
No ponto
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor direção da direção de
para
. Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas de
e
:
Para usar esse vetor na fórmula da taxa de variação, ele precisa ser normalizado, ou seja, transformado em um vetor unitário. Primeiro, calculamos o módulo do vetor
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
A taxa de variação da função
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção de
a
é 1.
Exercícios relacionados
Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
Suponha que
.
está aumentando ou diminuindo em
na direção
?
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.