Mostre que sumn=1^infty raizn+1-raiznraizn^2+n=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a soma infinita é igual a 1. Isso envolve séries infinitas e algumas manhas de álgebra pra simplificar a expressão. Vamos precisar entender como manipular radicais e formas de simplificar frações com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn . A gente pode racionalizar isso multiplicando e dividindo por :

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador da nossa fração original, que é raizn^2 + n = raizn(n + 1) = raizn cdot raizn + 1 . Podemos fatorar dentro da raiz:

Passo 4

Substituindo essas simplificações na nossa expressão original:
raizn+1 - raiznraizn^2+n = 1raizn+1 + raiznraizn cdot raizn+1 = 1raizn cdot raizn+1 cdot (raizn+1 + raizn)
Simplificando mais:
1raizn cdot (raizn+1)^2 + raizn cdot raizn = 1n + n = 12n

Resposta

Somando todos os termos da série, percebemos que a soma converge para 1. Portanto:
sumn=1^infty raizn+1-raiznraizn^2+n = 1

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