Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a soma infinita
é igual a 1. Isso envolve séries infinitas e algumas manhas de álgebra pra simplificar a expressão. Vamos precisar entender como manipular radicais e formas de simplificar frações com raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. A gente pode racionalizar isso multiplicando e dividindo por
:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador da nossa fração original, que é
. Podemos fatorar
dentro da raiz:
Passo 4
Substituindo essas simplificações na nossa expressão original:
Simplificando mais:
Resposta
Somando todos os termos da série, percebemos que a soma converge para 1. Portanto: