Suponha que
.
está aumentando ou diminuindo em
na direção
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor gradiente de uma função
no ponto
, que é
. Queremos saber se a função
está aumentando ou diminuindo nesse ponto
na direção do vetor
.
Aqui, estamos lidando com derivadas direcionais, que nos dizem a taxa de variação da função em uma direção específica. Para resolver isso, precisamos calcular a derivada direcional de
na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
normalizado (ou seja, com comprimento 1).
A fórmula é:
No nosso caso,
é o vetor
. Precisamos primeiro normalizar esse vetor.
Passo 3
Para normalizar o vetor
, calculamos o seu comprimento (ou norma):
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Simplificando:
Passo 5
O valor da derivada direcional
é positivo, porque
.
Isso significa que, na direção do vetor
, a função
está aumentando no ponto
.
Resposta
A função
está aumentando no ponto
na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Mostre que
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
Se
, determine a taxa de variação de
no ponto
na direção de
a
.