Suponha que . está aumentando ou diminuindo em na direção ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor gradiente de uma função no ponto , que é . Queremos saber se a função está aumentando ou diminuindo nesse ponto na direção do vetor .
Aqui, estamos lidando com derivadas direcionais, que nos dizem a taxa de variação da função em uma direção específica. Para resolver isso, precisamos calcular a derivada direcional de na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de um vetor é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor normalizado (ou seja, com comprimento 1).
A fórmula é:
á
No nosso caso, é o vetor . Precisamos primeiro normalizar esse vetor.

Passo 3

Para normalizar o vetor , calculamos o seu comprimento (ou norma):
Então, o vetor unitário na direção de é:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário á:
Simplificando:

Passo 5

O valor da derivada direcional é positivo, porque .
Isso significa que, na direção do vetor , a função está aumentando no ponto .

Resposta

A função está aumentando no ponto na direção do vetor .

Exercícios relacionados

Mostre que
Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
Se , determine a taxa de variação de no ponto na direção de a .