Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
(d)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a Transformada Inversa dela. Isso faz parte do estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar a tabela de Transformadas de Laplace e algumas técnicas de álgebra para simplificar a função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da nossa função . Observamos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, podemos reescrever como:
Isso facilita a próxima etapa, que é decompor a fração em partes mais simples.

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar. Essa técnica facilita a aplicação da Transformada Inversa, pois as frações individuais são mais fáceis de transformar.

Passo 4

Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores específicos para que simplifiquem a equação:
  1. Quando :
  1. Quando :
Então, encontramos que e .

Passo 5

Com os valores de e determinados, podemos reescrever como:
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

Portanto, a Transformada Inversa de é:

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Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
(a)
A função é diferenciável? Justifique com detalhes. se e .
  1. Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
    a)
    b)
    c)
    d)
Esboce o gráfico das equações: