Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a Transformada Inversa dela. Isso faz parte do estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar a tabela de Transformadas de Laplace e algumas técnicas de álgebra para simplificar a função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da nossa função
. Observamos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, podemos reescrever
como:
Isso facilita a próxima etapa, que é decompor a fração em partes mais simples.
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever
como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar. Essa técnica facilita a aplicação da Transformada Inversa, pois as frações individuais são mais fáceis de transformar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores específicos para
que simplifiquem a equação:
- Quando
:
- Quando
:
Então, encontramos que
e
.
Passo 5
Com os valores de
e
determinados, podemos reescrever
como:
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a Transformada Inversa de
é:
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Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(a)
(a)
A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
se
e
.
- Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
a)
b)
c)
d)
Esboce o gráfico das equações: