Se gamma é o arco de C compreendido entre os pontos (0,0,1) e (1,1, e), calcule a integral de linha integralgamma z^2 d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha onde é o arco de uma curva que vai do ponto até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e integração de linha. Precisamos parametrizar a curva e então calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = t y(t) = t z(t) = 1 + (e - 1)t . Como não foi especificado o tipo de curva, vamos assumir que é uma reta que liga os dois pontos. Para fazer isso, usamos uma parametrização linear. Separamos cada coordenada:
onde varia de 0 a 1. Quando , temos o ponto e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para dxdt = 1, dydt = 1, dzdt = e - 1 em termos da parametrização é:
ds = raiz1^2 + 1^2 + (e - 1)^2 , dt = raiz2 + (e - 1)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

A integral que queremos calcular é integral0^1 (1 + (e - 1)t)^2 raiz2 + (e - 1)^2 , dt . Vamos substituir raiz2 + (e - 1)^2 integral0^1 (1 + (e - 1)t)^2 , dt e na integral:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral (1 + (e - 1)t)^2 = 1 + 2(e - 1)t + (e - 1)^2 t^2 . Primeiro, expandimos o polinômio:
integral0^1 1 , dt = 1
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 2(e - 1)t , dt = (e - 1) [ t^2 ]0^1 = (e - 1)
integral0^1 (e - 1)^2 t^2 , dt = (e - 1)^23
1 + (e - 1) + (e - 1)^23 = e + (e - 1)^23
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha raiz2 + (e - 1)^2 ( e + (e - 1)^23 ) é igual a:

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