Use a expansão de g(x) para calcular aproximadamente integral0^1 11+t^4 d t com erro <0,1. Justifique sua resposta, explicando por que o método que você usou se aplica aqui.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular aproximadamente a integral integral0^1 11+t^4 , dt usando a expansão de uma função g(x), garantindo que o erro seja menor que 0,1. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em Séries e Aproximações. Vamos precisar usar a expansão em série de potências para simplificar a função dentro da integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que está dentro da integral: 11 + t^4. Para facilitar a integração, podemos reescrever essa função de uma maneira que nos permita usar uma série geométrica. A ideia é expressar 11 + t^4 como uma soma infinita de termos mais simples.

Passo 3

Lembrando que a série geométrica é dada por 11 - x = sumn=0^infty x^n, válida para |x| < 1. No nosso caso, temos 11 + t^4, que pode ser reescrita como 11 - (-t^4). Assim, podemos aplicar a expansão geométrica:
11 + t^4 = 11 - (-t^4) = sumn=0^infty (-t^4)^n = sumn=0^infty (-1)^n t^4n

Passo 4

Agora que temos a função em forma de série, podemos integrar termo a termo dentro do intervalo de 0 a 1:
integral0^1 11 + t^4 , dt = integral0^1 sumn=0^infty (-1)^n t^4n , dt = sumn=0^infty (-1)^n integral0^1 t^4n , dt
Calculando a integral de cada termo:
integral0^1 t^4n , dt = [ t^4n+14n+1 ]0^1 = 14n+1
Portanto, a integral se torna:
sumn=0^infty (-1)^n4n+1

Passo 5

Para aproximar a integral com erro menor que 0,1, vamos somar os termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,1. Vamos calcular os primeiros termos:
  • Para n=0: (-1)^04(0)+1 = 11 = 1
  • Para n=1: (-1)^14(1)+1 = -15 = -0,2
  • Para n=2: (-1)^24(2)+1 = 19 approx 0,111
  • Para n=3: (-1)^34(3)+1 = -113 approx -0,077
  • Para n=4: (-1)^44(4)+1 = 117 approx 0,059
Vamos somar até que o próximo termo seja menor que 0,1 em valor absoluto:
S = 1 - 0,2 + 0,111 - 0,077 + 0,059 approx 0,893
O próximo termo seria para n=5: (-1)^521 approx -0,048, que é menor que 0,1 em valor absoluto, então podemos parar aqui.

Resposta

A integral integral0^1 11+t^4 , dt é aproximadamente 0,893, com um erro menor que 0,1.

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