Use a expansão de
para calcular aproximadamente
com erro
. Justifique sua resposta, explicando por que o método que você usou se aplica aqui.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular aproximadamente a integral
usando a expansão de uma função
, garantindo que o erro seja menor que 0,1. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em Séries e Aproximações. Vamos precisar usar a expansão em série de potências para simplificar a função dentro da integral e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que está dentro da integral:
. Para facilitar a integração, podemos reescrever essa função de uma maneira que nos permita usar uma série geométrica. A ideia é expressar
como uma soma infinita de termos mais simples.
Passo 3
Lembrando que a série geométrica é dada por
, válida para
. No nosso caso, temos
, que pode ser reescrita como
. Assim, podemos aplicar a expansão geométrica:
Passo 4
Agora que temos a função em forma de série, podemos integrar termo a termo dentro do intervalo de 0 a 1:
Calculando a integral de cada termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Para aproximar a integral com erro menor que 0,1, vamos somar os termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,1. Vamos calcular os primeiros termos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Vamos somar até que o próximo termo seja menor que 0,1 em valor absoluto:
O próximo termo seria para
:
, que é menor que 0,1 em valor absoluto, então podemos parar aqui.
Resposta
A integral
é aproximadamente 0,893, com um erro menor que 0,1.