Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, funções trigonométricas e como manipular expressões com variáveis múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de . A função que temos é . Queremos saber se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.
Passo 3
Vamos lembrar que quando o ângulo da função seno é pequeno, . Isso significa que para valores de e próximos de zero, podemos aproximar por .
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão . Podemos separar os termos no numerador:
Passo 5
Vamos analisar cada parte:
: Se e vão para zero, essa fração tende a zero porque o numerador () diminui mais rápido que o denominador ().
: O mesmo acontece aqui. Com e indo para zero, o numerador () também diminui mais rápido que o denominador ().
Passo 6
Para ter certeza de que o limite realmente é zero, podemos usar o Teorema do Squeeze. Sabemos que para todo . Então:
Como tende a zero quando , pelo Teorema do Squeeze, o limite da nossa função também tende a zero.