Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) longrightarrow(0,0) sen(x^3+y^3)x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, funções trigonométricas e como manipular expressões com variáveis múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de . A função que temos é . Queremos saber se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 3

Vamos lembrar que quando o ângulo da função seno é pequeno, sin(x^3 + y^3)x^2 + y^2 approx x^3 + y^3x^2 + y^2 . Isso significa que para valores de e próximos de zero, podemos aproximar por .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão x^3 + y^3x^2 + y^2 = x^3x^2 + y^2 + y^3x^2 + y^2 . Podemos separar os termos no numerador:

Passo 5

Vamos analisar cada parte:
  1. : Se e vão para zero, essa fração tende a zero porque o numerador ( ) diminui mais rápido que o denominador ( ).
  2. : O mesmo acontece aqui. Com e indo para zero, o numerador ( ) também diminui mais rápido que o denominador ( ).

Passo 6

Para ter certeza de que o limite realmente é zero, podemos usar o Teorema do Squeeze. Sabemos que |sin(x^3 + y^3)x^2 + y^2| <= |x^3 + y^3|x^2 + y^2 <= |x|^3 + |y|^3x^2 + y^2 <= |x| + |y| para todo . Então:
Como tende a zero quando , pelo Teorema do Squeeze, o limite da nossa função também tende a zero.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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