Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é determinar o domínio da função e representar esse domínio no plano cartesiano. Para isso, precisamos entender sobre funções logarítmicas e as condições que elas impõem para que sejam definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, , só está definido quando o argumento é maior que zero. Ou seja, para ser definido, precisamos que:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade passo a passo. Começamos isolando o termo com :
Passo 4
Agora, vamos analisar os possíveis valores de para que a desigualdade seja satisfeita.
Se , ou seja, :
Isso implica que está entre e .
Se , ou seja, :
Isso significa que está fora do intervalo entre e .
Se :
Neste caso, qualquer valor de é válido.
Passo 5
Vamos resumir as condições encontradas para o domínio:
Para :
Para :
Para :
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem:
No plano cartesiano, esse domínio é representado pelas regiões onde as condições acima são atendidas, levando em conta as diferentes áreas para , e .