Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(y - 1 - x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado a geometria analítica e funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como essa função se comporta em relação aos eixos , e , além de considerar as restrições impostas pela raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Como a raiz quadrada só é definida para números não negativos, precisamos que:
Isso nos dá uma condição para os valores de e que tornam a função real e, portanto, possível de ser plotada.

Passo 3

Vamos rearranjar a inequação para facilitar a visualização:
Isso nos mostra que deve ser maior ou igual a . Essa é a equação de uma parábola deslocada para cima no plano .

Passo 4

Agora, vamos pensar no gráfico tridimensional. A função representa a altura em relação aos valores de e . Como é a raiz quadrada, para cada ponto que satisfaz , teremos um valor de não negativo.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar algumas seções:
  • Seção no plano (quando é constante): Mantendo fixo, teremos , que é a equação de um semicírculo com raio .
  • Seção no plano (quando é constante): Mantendo fixo, a equação se torna , onde , que representa uma parábola aberta para cima.

Passo 6

Com base nessas seções, o gráfico geral será uma espécie de superfície curva que se abre na direção positiva de e tem uma “base” seguindo a parábola . A altura aumenta conforme aumenta além dessa base.

Resposta

Então, o gráfico de é uma superfície paraboloide aberta na direção positiva de , limitada pela parábola no plano , onde representa a altura acima dessa base parabólica.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(3 x^2 + 3 y^2).
Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
z = 1/y^2 no plano y z, em torno do eixo z.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = (x + y) / raiz4(x^2 + y^2 - 4).
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = ln(1 - (x - 1) y^2).