Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado a geometria analítica e funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como essa função se comporta em relação aos eixos
,
e
, além de considerar as restrições impostas pela raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Como a raiz quadrada só é definida para números não negativos, precisamos que:
Isso nos dá uma condição para os valores de
e
que tornam a função real e, portanto, possível de ser plotada.
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para facilitar a visualização:
Isso nos mostra que
deve ser maior ou igual a
. Essa é a equação de uma parábola deslocada para cima no plano
.
Passo 4
Agora, vamos pensar no gráfico tridimensional. A função
representa a altura
em relação aos valores de
e
. Como
é a raiz quadrada, para cada ponto
que satisfaz
, teremos um valor de
não negativo.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos considerar algumas seções:
-
Seção no plano
(quando é constante): Mantendo fixo, teremos , que é a equação de um semicírculo com raio . -
Seção no plano
(quando é constante): Mantendo fixo, a equação se torna , onde , que representa uma parábola aberta para cima.
Passo 6
Com base nessas seções, o gráfico geral será uma espécie de superfície curva que se abre na direção positiva de
e tem uma “base” seguindo a parábola
. A altura
aumenta conforme
aumenta além dessa base.
Resposta
Então, o gráfico de
é uma superfície paraboloide aberta na direção positiva de
, limitada pela parábola
no plano
, onde
representa a altura acima dessa base parabólica.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
no plano
, em torno do eixo
.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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