Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = 4 - x^2 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Estamos lidando com cálculo de funções de duas variáveis e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa equação se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície essa equação representa. A equação é uma paraboloide. Mais especificamente, é uma paraboloide circular, pois os termos quadráticos em e têm os mesmos coeficientes e não há termo misto.

Passo 3

Vamos analisar o ponto de vértice da paraboloide. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da curva. Aqui, quando e , . Então, o vértice está no ponto .

Passo 4

Agora, vamos determinar a abertura da paraboloide. Na equação geral , os coeficientes de e indicam a “largura” da paraboloide. Aqui, como ambos os coeficientes são iguais a -1, a abertura é simétrica em relação aos eixos e .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos traçar algumas curvas de nível (contorno). Essas são as interseções da paraboloide com planos horizontais .
Por exemplo:
  • Para : resulta em , que é apenas o ponto .
  • Para : , um círculo de raio 1 no plano .
  • Para : , círculo de raio no plano .
  • E assim por diante, descendo até , onde , um círculo de raio 2.

Passo 6

Com essas curvas de nível, podemos desenhar a paraboloide. Ela terá seu vértice no ponto mais alto e se abrirá para baixo, formando círculos maiores conforme diminui.

Passo 7

Por fim, para completar o esboço, desenhe o eixo verticalmente e os eixos e horizontalmente. Marque os pontos das curvas de nível nos respectivos planos e conecte-os suavemente para formar a superfície da paraboloide.

Resposta

O gráfico da função é uma paraboloide circular com vértice no ponto que se abre para baixo, formando círculos de raio crescente à medida que diminui. O esboço apresenta uma superfície simétrica em relação aos eixos e , com curvas de nível circulares em diferentes alturas.

Exercícios relacionados

Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = raiz(2 x^2 + 2 y^2 - 1)
, c = 1, c = raiz(7), c = raiz(17).
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = ln(1 - (x - 1) y^2).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = x^2 + y^2 - 3.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = (x + 5*y + 11) / raiz4(y + x^2 + 6*x).