Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Estamos lidando com cálculo de funções de duas variáveis e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa equação se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície essa equação representa. A equação
é uma paraboloide. Mais especificamente, é uma paraboloide circular, pois os termos quadráticos em
e
têm os mesmos coeficientes e não há termo misto.
Passo 3
Vamos analisar o ponto de vértice da paraboloide. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da curva. Aqui, quando
e
,
. Então, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a abertura da paraboloide. Na equação geral
, os coeficientes de
e
indicam a “largura” da paraboloide. Aqui, como ambos os coeficientes são iguais a -1, a abertura é simétrica em relação aos eixos
e
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos traçar algumas curvas de nível (contorno). Essas são as interseções da paraboloide com planos horizontais
.
Por exemplo:
- Para
: resulta em , que é apenas o ponto . - Para
: dá , um círculo de raio 1 no plano . - Para
: , círculo de raio no plano . - E assim por diante, descendo até
, onde , um círculo de raio 2.
Passo 6
Com essas curvas de nível, podemos desenhar a paraboloide. Ela terá seu vértice no ponto mais alto
e se abrirá para baixo, formando círculos maiores conforme
diminui.
Passo 7
Por fim, para completar o esboço, desenhe o eixo
verticalmente e os eixos
e
horizontalmente. Marque os pontos das curvas de nível nos respectivos planos
e conecte-os suavemente para formar a superfície da paraboloide.
Resposta
O gráfico da função
é uma paraboloide circular com vértice no ponto
que se abre para baixo, formando círculos de raio crescente à medida que
diminui. O esboço apresenta uma superfície simétrica em relação aos eixos
e
, com curvas de nível circulares em diferentes alturas.
Exercícios relacionados
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
, .
,
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
.
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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