Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = raiz(2 x^2 + 2 y^2 - 1)
, c = 1, c = raiz(7), c = raiz(17).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar no plano cartesiano as curvas de nível da função para os valores de nível , e . Isso envolve a matemática das curvas de nível e um pouco de geometria analítica para desenhar essas curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Então, queremos encontrar todos os pontos que satisfazem .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação :
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos com e :
Dividindo tudo por 2 para simplificar:

Passo 5

Essa é a equação de um círculo no plano cartesiano com centro na origem e raio . Então, para cada valor de , teremos um círculo diferente.

Passo 6

Vamos calcular o raio para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Então, as curvas de nível são:
  • Para : Círculo com raio 1.
  • Para : Círculo com raio 2.
  • Para : Círculo com raio 3.

Resposta

As curvas de nível são círculos centrados na origem com raios de 1, 2 e 3 unidades para , e , respectivamente.

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Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
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