Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = 1 / (x - y) + raiz(4 x^2 + y^2 - 8 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função e representá-lo no plano cartesiano. O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os pares de valores para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir que nenhuma operação na função seja inválida, como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: . Aqui, o denominador não pode ser igual a zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. Então, temos a primeira condição:
Isso significa que não pode ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda parte da função: . O que está dentro da raiz quadrada, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Então, temos a segunda condição:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a análise. Primeiro, completamos o quadrado para os termos que envolvem :
Então, podemos reescrever o radicando:

Passo 5

A última inequação representa uma elipse ou uma circunferência no plano . Para entender melhor, podemos dividir ambos os lados por 4:
Essa é a equação de uma elipse centrada em com semi-eixos de comprimento 1 e 2. A desigualdade significa que estamos interessados nos pontos que estão na elipse ou fora dela.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e . No plano cartesiano, isso corresponde a todos os pontos que estão fora ou sobre a elipse centrada em com semi-eixos de 1 e 2, excluindo a linha onde .

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f(x, y) = 3 / (x + 3y).
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x^2 - y^2
, c = -9, c = -4, c = 0, c = 9.
Faça um esboço do cilindro da equação dada:
z = e^x, y em R.