Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
e representá-lo no plano cartesiano. O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os pares de valores
para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir que nenhuma operação na função seja inválida, como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função:
. Aqui, o denominador
não pode ser igual a zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. Então, temos a primeira condição:
Isso significa que
não pode ser igual a
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda parte da função:
. O que está dentro da raiz quadrada, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Então, temos a segunda condição:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a análise. Primeiro, completamos o quadrado para os termos que envolvem
:
Então, podemos reescrever o radicando:
Passo 5
A última inequação representa uma elipse ou uma circunferência no plano
. Para entender melhor, podemos dividir ambos os lados por 4:
Essa é a equação de uma elipse centrada em
com semi-eixos de comprimento 1 e 2. A desigualdade
significa que estamos interessados nos pontos que estão na elipse ou fora dela.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
. No plano cartesiano, isso corresponde a todos os pontos que estão fora ou sobre a elipse centrada em
com semi-eixos de 1 e 2, excluindo a linha onde
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dados:
, .
,
Faça um esboço do cilindro da equação dada:
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