Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x^2 - y^2
, c = -9, c = -4, c = 0, c = 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente desenhar as curvas de nível da função para os valores de nível . Isso está relacionado ao estudo das curvas de nível em funções de duas variáveis, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função é igual a uma constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma equação do tipo:
Essa é a equação de uma hipérbole, que é um tipo de curva cônica. Dependendo do valor de , a forma da hipérbole muda.

Passo 3

Vamos analisar cada valor de separadamente para desenhar as curvas:

Para :

A equação fica:
Isso representa uma hipérbole que abre na direção do eixo (vertical), porque o coeficiente de é positivo.

Para :

A equação fica:
Novamente, temos uma hipérbole que abre verticalmente.

Para :

A equação fica:
Aqui, a “hipérbole” se degenera em duas linhas retas que passam pela origem, formando um “X”.

Para :

A equação fica:
Neste caso, temos uma hipérbole que abre na direção do eixo (horizontal), porque o coeficiente de é positivo.

Passo 4

Agora, vamos resumir como as curvas ficam no plano cartesiano:
  • : Hipérbole vertical com a equação .
  • : Hipérbole vertical com a equação .
  • : Duas linhas retas e .
  • : Hipérbole horizontal com a equação .

Resposta

As curvas de nível da função para os valores de são:
  • Para : Uma hipérbole vertical .
  • Para : Uma hipérbole vertical .
  • Para : Duas linhas retas e .
  • Para : Uma hipérbole horizontal .

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