Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
,
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente desenhar as curvas de nível da função
para os valores de nível
. Isso está relacionado ao estudo das curvas de nível em funções de duas variáveis, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
é igual a uma constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação do tipo:
Essa é a equação de uma hipérbole, que é um tipo de curva cônica. Dependendo do valor de
, a forma da hipérbole muda.
Passo 3
Vamos analisar cada valor de
separadamente para desenhar as curvas:
Para
:
A equação fica:
Isso representa uma hipérbole que abre na direção do eixo
(vertical), porque o coeficiente de
é positivo.
Para
:
A equação fica:
Novamente, temos uma hipérbole que abre verticalmente.
Para
:
A equação fica:
Aqui, a “hipérbole” se degenera em duas linhas retas que passam pela origem, formando um “X”.
Para
:
A equação fica:
Neste caso, temos uma hipérbole que abre na direção do eixo
(horizontal), porque o coeficiente de
é positivo.
Passo 4
Agora, vamos resumir como as curvas ficam no plano cartesiano:
-
: Hipérbole vertical com a equação . -
: Hipérbole vertical com a equação . -
: Duas linhas retas e . -
: Hipérbole horizontal com a equação .
Resposta
As curvas de nível da função
para os valores de
são:
- Para
: Uma hipérbole vertical . - Para
: Uma hipérbole vertical . - Para
: Duas linhas retas e . - Para
: Uma hipérbole horizontal .
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Faça um esboço do cilindro da equação dada:
.
Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
no plano
, em torno do eixo
.